Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28913 / 45167
↖ ↑ ↗
← S 56.117998°
W 21.176148°		 ← 340.54 m → S 56.117998°
W 21.170654°		 →
↑
340.47 m
↓
↑
340.47 m
↓
S 56.121060°
W 21.176148°		 ← 340.51 m →
115 938 m²		 S 56.121060°
W 21.170654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441184997558594 y=0.689201354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441184997558594 × 216)
    floor (0.441184997558594 × 65536)
    floor (28913.5)     		tx = 28913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689201354980469 × 216)
    floor (0.689201354980469 × 65536)
    floor (45167.5)     		ty = 45167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28913 / 45167 ti = "16/28913/45167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28913/45167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28913 ÷ 216
    28913 ÷ 65536     		x = 0.441177368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45167 ÷ 216
    45167 ÷ 65536     		y = 0.689193725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441177368164062 × 2 - 1) × π
    -0.117645263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36959350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689193725585938 × 2 - 1) × π
    -0.378387451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18873923677815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36959350} λ = -0.36959350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18873923677815))-π/2
    2×atan(0.304605056932871)-π/2
    2×0.295676244350955-π/2
    0.591352488701911-1.57079632675     		φ = -0.97944384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36959350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.176148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97944384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.117998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28913 KachelY 45167 -0.36959350 -0.97944384 -21.176148 -56.117998
    Oben rechts KachelX + 1 28914 KachelY 45167 -0.36949762 -0.97944384 -21.170654 -56.117998
    Unten links KachelX 28913 KachelY + 1 45168 -0.36959350 -0.97949728 -21.176148 -56.121060
    Unten rechts KachelX + 1 28914 KachelY + 1 45168 -0.36949762 -0.97949728 -21.170654 -56.121060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97944384--0.97949728) × R
    5.34400000000712e-05 × 6371000     		dl = 340.466240000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97944384--0.97949728) × R
    5.34400000000712e-05 × 6371000     		dr = 340.466240000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36959350--0.36949762) × cos(-0.97944384) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55748435001256 × 6371000     		do = 340.540140281984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36959350--0.36949762) × cos(-0.97949728) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.557439983999297 × 6371000     		du = 340.513039237121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97944384)-sin(-0.97949728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55748435001256-0.557439983999297)×R²
    abs(-0.36949762--0.36959350)×4.43660132630752e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43660132630752e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43660132630752e-05×40589641000000     		ar = 115937.807663369m²