Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28912 / 45168
↖ ↑ ↗
← S 56.121060°
W 21.181641°		 ← 340.48 m → S 56.121060°
W 21.176148°		 →
↑
340.53 m
↓
↑
340.53 m
↓
S 56.124123°
W 21.181641°		 ← 340.45 m →
115 938 m²		 S 56.124123°
W 21.176148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441169738769531 y=0.689216613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441169738769531 × 216)
    floor (0.441169738769531 × 65536)
    floor (28912.5)     		tx = 28912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689216613769531 × 216)
    floor (0.689216613769531 × 65536)
    floor (45168.5)     		ty = 45168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28912 / 45168 ti = "16/28912/45168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28912/45168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28912 ÷ 216
    28912 ÷ 65536     		x = 0.441162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45168 ÷ 216
    45168 ÷ 65536     		y = 0.689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441162109375 × 2 - 1) × π
    -0.11767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36968937
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.37841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18883511057739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36968937} λ = -0.36968937}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18883511057739))-π/2
    2×atan(0.304575854688683)-π/2
    2×0.295649521343065-π/2
    0.59129904268613-1.57079632675     		φ = -0.97949728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36968937} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.181641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97949728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.121060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28912 KachelY 45168 -0.36968937 -0.97949728 -21.181641 -56.121060
    Oben rechts KachelX + 1 28913 KachelY 45168 -0.36959350 -0.97949728 -21.176148 -56.121060
    Unten links KachelX 28912 KachelY + 1 45169 -0.36968937 -0.97955073 -21.181641 -56.124123
    Unten rechts KachelX + 1 28913 KachelY + 1 45169 -0.36959350 -0.97955073 -21.176148 -56.124123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97949728--0.97955073) × R
    5.34500000000104e-05 × 6371000     		dl = 340.529950000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97949728--0.97955073) × R
    5.34500000000104e-05 × 6371000     		dr = 340.529950000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36968937--0.36959350) × cos(-0.97949728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557439983999297 × 6371000     		do = 340.477524735759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36968937--0.36959350) × cos(-0.97955073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557395608091608 × 6371000     		du = 340.45042047406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97949728)-sin(-0.97955073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557439983999297-0.557395608091608)×R²
    abs(-0.36959350--0.36968937)×4.43759076890204e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43759076890204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43759076890204e-05×40589641000000     		ar = 115938.179595574m²