Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28908 / 44849
↖ ↑ ↗
← S 55.131790°
W 21.203614°		 ← 349.22 m → S 55.131790°
W 21.198120°		 →
↑
349.19 m
↓
↑
349.19 m
↓
S 55.134930°
W 21.203614°		 ← 349.19 m →
121 940 m²		 S 55.134930°
W 21.198120°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441108703613281 y=0.684349060058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441108703613281 × 216)
    floor (0.441108703613281 × 65536)
    floor (28908.5)     		tx = 28908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684349060058594 × 216)
    floor (0.684349060058594 × 65536)
    floor (44849.5)     		ty = 44849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28908 / 44849 ti = "16/28908/44849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28908/44849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28908 ÷ 216
    28908 ÷ 65536     		x = 0.44110107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44849 ÷ 216
    44849 ÷ 65536     		y = 0.684341430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.1177978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37007287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684341430664062 × 2 - 1) × π
    -0.368682861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1582513686198
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37007287} λ = -0.37007287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1582513686198))-π/2
    2×atan(0.31403483221042)-π/2
    2×0.304282538036687-π/2
    0.608565076073374-1.57079632675     		φ = -0.96223125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37007287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.203614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96223125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.131790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28908 KachelY 44849 -0.37007287 -0.96223125 -21.203614 -55.131790
    Oben rechts KachelX + 1 28909 KachelY 44849 -0.36997699 -0.96223125 -21.198120 -55.131790
    Unten links KachelX 28908 KachelY + 1 44850 -0.37007287 -0.96228606 -21.203614 -55.134930
    Unten rechts KachelX + 1 28909 KachelY + 1 44850 -0.36997699 -0.96228606 -21.198120 -55.134930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96223125--0.96228606) × R
    5.48100000000717e-05 × 6371000     		dl = 349.194510000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96223125--0.96228606) × R
    5.48100000000717e-05 × 6371000     		dr = 349.194510000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37007287--0.36997699) × cos(-0.96223125) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571690738775 × 6371000     		do = 349.218133882975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37007287--0.36997699) × cos(-0.96228606) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571645767999751 × 6371000     		du = 349.190663418358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96223125)-sin(-0.96228606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571690738775-0.571645767999751)×R²
    abs(-0.36997699--0.37007287)×4.49707752490092e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49707752490092e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49707752490092e-05×40589641000000     		ar = 121940.258907632m²