Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28907 / 45173
↖ ↑ ↗
← S 56.136368°
W 21.209107°		 ← 340.34 m → S 56.136368°
W 21.203614°		 →
↑
340.34 m
↓
↑
340.34 m
↓
S 56.139429°
W 21.209107°		 ← 340.31 m →
115 827 m²		 S 56.139429°
W 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45173 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441093444824219 y=0.689292907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441093444824219 × 216)
    floor (0.441093444824219 × 65536)
    floor (28907.5)     		tx = 28907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689292907714844 × 216)
    floor (0.689292907714844 × 65536)
    floor (45173.5)     		ty = 45173
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28907 / 45173 ti = "16/28907/45173"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28907/45173.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28907 ÷ 216
    28907 ÷ 65536     		x = 0.441085815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45173 ÷ 216
    45173 ÷ 65536     		y = 0.689285278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441085815429688 × 2 - 1) × π
    -0.117828369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37016874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689285278320312 × 2 - 1) × π
    -0.378570556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18931447957359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37016874} λ = -0.37016874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18931447957359))-π/2
    2×atan(0.304429885456311)-π/2
    2×0.295515938206185-π/2
    0.59103187641237-1.57079632675     		φ = -0.97976445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37016874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.209107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97976445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.136368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28907 KachelY 45173 -0.37016874 -0.97976445 -21.209107 -56.136368
    Oben rechts KachelX + 1 28908 KachelY 45173 -0.37007287 -0.97976445 -21.203614 -56.136368
    Unten links KachelX 28907 KachelY + 1 45174 -0.37016874 -0.97981787 -21.209107 -56.139429
    Unten rechts KachelX + 1 28908 KachelY + 1 45174 -0.37007287 -0.97981787 -21.203614 -56.139429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97976445--0.97981787) × R
    5.34199999999707e-05 × 6371000     		dl = 340.338819999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97976445--0.97981787) × R
    5.34199999999707e-05 × 6371000     		dr = 340.338819999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37016874--0.37007287) × cos(-0.97976445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557218154967163 × 6371000     		do = 340.342034275901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37016874--0.37007287) × cos(-0.97981787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557173796012878 × 6371000     		du = 340.314940369133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97976445)-sin(-0.97981787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557218154967163-0.557173796012878)×R²
    abs(-0.37007287--0.37016874)×4.43589542857836e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43589542857836e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43589542857836e-05×40589641000000     		ar = 115826.995814935m²