Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28907 / 44850
↖ ↑ ↗
← S 55.134930°
W 21.209107°		 ← 349.15 m → S 55.134930°
W 21.203614°		 →
↑
349.13 m
↓
↑
349.13 m
↓
S 55.138070°
W 21.209107°		 ← 349.13 m →
121 896 m²		 S 55.138070°
W 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441093444824219 y=0.684364318847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441093444824219 × 216)
    floor (0.441093444824219 × 65536)
    floor (28907.5)     		tx = 28907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684364318847656 × 216)
    floor (0.684364318847656 × 65536)
    floor (44850.5)     		ty = 44850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28907 / 44850 ti = "16/28907/44850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28907/44850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28907 ÷ 216
    28907 ÷ 65536     		x = 0.441085815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44850 ÷ 216
    44850 ÷ 65536     		y = 0.684356689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441085815429688 × 2 - 1) × π
    -0.117828369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37016874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684356689453125 × 2 - 1) × π
    -0.36871337890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15834724241904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37016874} λ = -0.37016874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15834724241904))-π/2
    2×atan(0.314004725941186)-π/2
    2×0.304255134033005-π/2
    0.60851026806601-1.57079632675     		φ = -0.96228606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37016874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.209107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96228606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.134930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28907 KachelY 44850 -0.37016874 -0.96228606 -21.209107 -55.134930
    Oben rechts KachelX + 1 28908 KachelY 44850 -0.37007287 -0.96228606 -21.203614 -55.134930
    Unten links KachelX 28907 KachelY + 1 44851 -0.37016874 -0.96234086 -21.209107 -55.138070
    Unten rechts KachelX + 1 28908 KachelY + 1 44851 -0.37007287 -0.96234086 -21.203614 -55.138070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96228606--0.96234086) × R
    5.47999999999105e-05 × 6371000     		dl = 349.13079999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96228606--0.96234086) × R
    5.47999999999105e-05 × 6371000     		dr = 349.13079999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37016874--0.37007287) × cos(-0.96228606) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571645767999751 × 6371000     		do = 349.154243866498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37016874--0.37007287) × cos(-0.96234086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.571600803712519 × 6371000     		du = 349.12678022977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96228606)-sin(-0.96234086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571645767999751-0.571600803712519)×R²
    abs(-0.37007287--0.37016874)×4.49642872319966e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49642872319966e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49642872319966e-05×40589641000000     		ar = 121895.706314143m²