Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28905 / 44852
↖ ↑ ↗
← S 55.141210°
W 21.220093°		 ← 349.14 m → S 55.141210°
W 21.214599°		 →
↑
349.13 m
↓
↑
349.13 m
↓
S 55.144349°
W 21.220093°		 ← 349.11 m →
121 889 m²		 S 55.144349°
W 21.214599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441062927246094 y=0.684394836425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441062927246094 × 216)
    floor (0.441062927246094 × 65536)
    floor (28905.5)     		tx = 28905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684394836425781 × 216)
    floor (0.684394836425781 × 65536)
    floor (44852.5)     		ty = 44852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28905 / 44852 ti = "16/28905/44852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28905/44852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28905 ÷ 216
    28905 ÷ 65536     		x = 0.441055297851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44852 ÷ 216
    44852 ÷ 65536     		y = 0.68438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441055297851562 × 2 - 1) × π
    -0.117889404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37036049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.3687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15853899001752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37036049} λ = -0.37036049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15853899001752))-π/2
    2×atan(0.313944522061235)-π/2
    2×0.304200332492466-π/2
    0.608400664984932-1.57079632675     		φ = -0.96239566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37036049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.220093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96239566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.141210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28905 KachelY 44852 -0.37036049 -0.96239566 -21.220093 -55.141210
    Oben rechts KachelX + 1 28906 KachelY 44852 -0.37026461 -0.96239566 -21.214599 -55.141210
    Unten links KachelX 28905 KachelY + 1 44853 -0.37036049 -0.96245046 -21.220093 -55.144349
    Unten rechts KachelX + 1 28906 KachelY + 1 44853 -0.37026461 -0.96245046 -21.214599 -55.144349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96239566--0.96245046) × R
    5.48000000000215e-05 × 6371000     		dl = 349.130800000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96239566--0.96245046) × R
    5.48000000000215e-05 × 6371000     		dr = 349.130800000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37036049--0.37026461) × cos(-0.96239566) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.571555837708747 × 6371000     		do = 349.135729367001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37036049--0.37026461) × cos(-0.96245046) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.57151086998857 × 6371000     		du = 349.108260768579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96239566)-sin(-0.96245046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571555837708747-0.57151086998857)×R²
    abs(-0.37026461--0.37036049)×4.4967720177258e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.4967720177258e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.4967720177258e-05×40589641000000     		ar = 121889.241465979m²