Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28900 / 45142
↖ ↑ ↗
← S 56.041363°
W 21.247559°		 ← 341.22 m → S 56.041363°
W 21.242065°		 →
↑
341.23 m
↓
↑
341.23 m
↓
S 56.044432°
W 21.247559°		 ← 341.19 m →
116 429 m²		 S 56.044432°
W 21.242065°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440986633300781 y=0.688819885253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440986633300781 × 216)
    floor (0.440986633300781 × 65536)
    floor (28900.5)     		tx = 28900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688819885253906 × 216)
    floor (0.688819885253906 × 65536)
    floor (45142.5)     		ty = 45142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28900 / 45142 ti = "16/28900/45142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28900/45142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28900 ÷ 216
    28900 ÷ 65536     		x = 0.44097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45142 ÷ 216
    45142 ÷ 65536     		y = 0.688812255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.1180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37083986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688812255859375 × 2 - 1) × π
    -0.37762451171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18634239179715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37083986} λ = -0.37083986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18634239179715))-π/2
    2×atan(0.30533602369183)-π/2
    2×0.296345011082502-π/2
    0.592690022165004-1.57079632675     		φ = -0.97810630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37083986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.247559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97810630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.041363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28900 KachelY 45142 -0.37083986 -0.97810630 -21.247559 -56.041363
    Oben rechts KachelX + 1 28901 KachelY 45142 -0.37074398 -0.97810630 -21.242065 -56.041363
    Unten links KachelX 28900 KachelY + 1 45143 -0.37083986 -0.97815986 -21.247559 -56.044432
    Unten rechts KachelX + 1 28901 KachelY + 1 45143 -0.37074398 -0.97815986 -21.242065 -56.044432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97810630--0.97815986) × R
    5.3560000000008e-05 × 6371000     		dl = 341.230760000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97810630--0.97815986) × R
    5.3560000000008e-05 × 6371000     		dr = 341.230760000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37083986--0.37074398) × cos(-0.97810630) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.558594259927841 × 6371000     		do = 341.218130396598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37083986--0.37074398) × cos(-0.97815986) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.558549834264098 × 6371000     		du = 341.19099291415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97810630)-sin(-0.97815986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558594259927841-0.558549834264098)×R²
    abs(-0.37074398--0.37083986)×4.44256637435192e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.44256637435192e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.44256637435192e-05×40589641000000     		ar = 116429.491916867m²