Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28899 / 45071
↖ ↑ ↗
← S 55.822888°
W 21.253052°		 ← 343.11 m → S 55.822888°
W 21.247559°		 →
↑
343.08 m
↓
↑
343.08 m
↓
S 55.825973°
W 21.253052°		 ← 343.08 m →
117 710 m²		 S 55.825973°
W 21.247559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440971374511719 y=0.687736511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440971374511719 × 216)
    floor (0.440971374511719 × 65536)
    floor (28899.5)     		tx = 28899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687736511230469 × 216)
    floor (0.687736511230469 × 65536)
    floor (45071.5)     		ty = 45071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28899 / 45071 ti = "16/28899/45071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28899/45071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28899 ÷ 216
    28899 ÷ 65536     		x = 0.440963745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45071 ÷ 216
    45071 ÷ 65536     		y = 0.687728881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440963745117188 × 2 - 1) × π
    -0.118072509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37093573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687728881835938 × 2 - 1) × π
    -0.375457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1795353520511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37093573} λ = -0.37093573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1795353520511))-π/2
    2×atan(0.307421548212289)-π/2
    2×0.298251570321796-π/2
    0.596503140643591-1.57079632675     		φ = -0.97429319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37093573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.253052°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97429319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.822888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28899 KachelY 45071 -0.37093573 -0.97429319 -21.253052 -55.822888
    Oben rechts KachelX + 1 28900 KachelY 45071 -0.37083986 -0.97429319 -21.247559 -55.822888
    Unten links KachelX 28899 KachelY + 1 45072 -0.37093573 -0.97434704 -21.253052 -55.825973
    Unten rechts KachelX + 1 28900 KachelY + 1 45072 -0.37083986 -0.97434704 -21.247559 -55.825973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97429319--0.97434704) × R
    5.38500000000219e-05 × 6371000     		dl = 343.07835000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97429319--0.97434704) × R
    5.38500000000219e-05 × 6371000     		dr = 343.07835000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37093573--0.37083986) × cos(-0.97429319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561752941297938 × 6371000     		do = 343.111826306301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37093573--0.37083986) × cos(-0.97434704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561708390106942 × 6371000     		du = 343.084614983702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97429319)-sin(-0.97434704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561752941297938-0.561708390106942)×R²
    abs(-0.37083986--0.37093573)×4.45511909958896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45511909958896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45511909958896e-05×40589641000000     		ar = 117709.571454944m²