Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28898 / 44825
↖ ↑ ↗
← S 55.056349°
W 21.258545°		 ← 349.84 m → S 55.056349°
W 21.253052°		 →
↑
349.90 m
↓
↑
349.90 m
↓
S 55.059495°
W 21.258545°		 ← 349.81 m →
122 403 m²		 S 55.059495°
W 21.253052°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440956115722656 y=0.683982849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440956115722656 × 216)
    floor (0.440956115722656 × 65536)
    floor (28898.5)     		tx = 28898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683982849121094 × 216)
    floor (0.683982849121094 × 65536)
    floor (44825.5)     		ty = 44825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28898 / 44825 ti = "16/28898/44825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28898/44825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28898 ÷ 216
    28898 ÷ 65536     		x = 0.440948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44825 ÷ 216
    44825 ÷ 65536     		y = 0.683975219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.11810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37103160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683975219726562 × 2 - 1) × π
    -0.367950439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15595039743803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37103160} λ = -0.37103160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15595039743803))-π/2
    2×atan(0.314758249271134)-π/2
    2×0.304940881042892-π/2
    0.609881762085784-1.57079632675     		φ = -0.96091456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37103160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.258545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96091456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.056349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28898 KachelY 44825 -0.37103160 -0.96091456 -21.258545 -55.056349
    Oben rechts KachelX + 1 28899 KachelY 44825 -0.37093573 -0.96091456 -21.253052 -55.056349
    Unten links KachelX 28898 KachelY + 1 44826 -0.37103160 -0.96096948 -21.258545 -55.059495
    Unten rechts KachelX + 1 28899 KachelY + 1 44826 -0.37093573 -0.96096948 -21.253052 -55.059495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96091456--0.96096948) × R
    5.49200000000694e-05 × 6371000     		dl = 349.895320000442m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96091456--0.96096948) × R
    5.49200000000694e-05 × 6371000     		dr = 349.895320000442m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37103160--0.37093573) × cos(-0.96091456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572770546484417 × 6371000     		do = 349.841244808891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37103160--0.37093573) × cos(-0.96096948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572725526831979 × 6371000     		du = 349.813747355772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96091456)-sin(-0.96096948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572770546484417-0.572725526831979)×R²
    abs(-0.37093573--0.37103160)×4.50196524389712e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50196524389712e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50196524389712e-05×40589641000000     		ar = 122403.00371733m²