Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28895 / 45139
↖ ↑ ↗
← S 56.032157°
W 21.275024°		 ← 341.26 m → S 56.032157°
W 21.269531°		 →
↑
341.29 m
↓
↑
341.29 m
↓
S 56.035226°
W 21.275024°		 ← 341.24 m →
116 467 m²		 S 56.035226°
W 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440910339355469 y=0.688774108886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440910339355469 × 216)
    floor (0.440910339355469 × 65536)
    floor (28895.5)     		tx = 28895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688774108886719 × 216)
    floor (0.688774108886719 × 65536)
    floor (45139.5)     		ty = 45139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28895 / 45139 ti = "16/28895/45139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28895/45139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28895 ÷ 216
    28895 ÷ 65536     		x = 0.440902709960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45139 ÷ 216
    45139 ÷ 65536     		y = 0.688766479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440902709960938 × 2 - 1) × π
    -0.118194580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37131922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688766479492188 × 2 - 1) × π
    -0.377532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18605477039943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37131922} λ = -0.37131922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18605477039943))-π/2
    2×atan(0.305423857496574)-π/2
    2×0.296425352495447-π/2
    0.592850704990894-1.57079632675     		φ = -0.97794562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37131922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.275024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97794562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.032157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28895 KachelY 45139 -0.37131922 -0.97794562 -21.275024 -56.032157
    Oben rechts KachelX + 1 28896 KachelY 45139 -0.37122335 -0.97794562 -21.269531 -56.032157
    Unten links KachelX 28895 KachelY + 1 45140 -0.37131922 -0.97799919 -21.275024 -56.035226
    Unten rechts KachelX + 1 28896 KachelY + 1 45140 -0.37122335 -0.97799919 -21.269531 -56.035226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97794562--0.97799919) × R
    5.35700000000583e-05 × 6371000     		dl = 341.294470000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97794562--0.97799919) × R
    5.35700000000583e-05 × 6371000     		dr = 341.294470000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37131922--0.37122335) × cos(-0.97794562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558727527304014 × 6371000     		do = 341.263940439626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37131922--0.37122335) × cos(-0.97799919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558683098154115 × 6371000     		du = 341.236803658235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97794562)-sin(-0.97799919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558727527304014-0.558683098154115)×R²
    abs(-0.37122335--0.37131922)×4.44291498995497e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44291498995497e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44291498995497e-05×40589641000000     		ar = 116466.8648936m²