Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28892 / 45308
↖ ↑ ↗
← S 56.547372°
W 21.291504°		 ← 336.73 m → S 56.547372°
W 21.286011°		 →
↑
336.64 m
↓
↑
336.64 m
↓
S 56.550400°
W 21.291504°		 ← 336.70 m →
113 354 m²		 S 56.550400°
W 21.286011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440864562988281 y=0.691352844238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440864562988281 × 216)
    floor (0.440864562988281 × 65536)
    floor (28892.5)     		tx = 28892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691352844238281 × 216)
    floor (0.691352844238281 × 65536)
    floor (45308.5)     		ty = 45308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28892 / 45308 ti = "16/28892/45308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28892/45308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28892 ÷ 216
    28892 ÷ 65536     		x = 0.44085693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45308 ÷ 216
    45308 ÷ 65536     		y = 0.69134521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.1182861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37160685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69134521484375 × 2 - 1) × π
    -0.3826904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20225744247101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37160685} λ = -0.37160685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20225744247101))-π/2
    2×atan(0.3005150501789)-π/2
    2×0.291929250568693-π/2
    0.583858501137385-1.57079632675     		φ = -0.98693783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37160685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98693783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.547372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28892 KachelY 45308 -0.37160685 -0.98693783 -21.291504 -56.547372
    Oben rechts KachelX + 1 28893 KachelY 45308 -0.37151097 -0.98693783 -21.286011 -56.547372
    Unten links KachelX 28892 KachelY + 1 45309 -0.37160685 -0.98699067 -21.291504 -56.550400
    Unten rechts KachelX + 1 28893 KachelY + 1 45309 -0.37151097 -0.98699067 -21.286011 -56.550400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98693783--0.98699067) × R
    5.28399999999429e-05 × 6371000     		dl = 336.643639999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98693783--0.98699067) × R
    5.28399999999429e-05 × 6371000     		dr = 336.643639999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37160685--0.37151097) × cos(-0.98693783) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551247337752711 × 6371000     		do = 336.730252112278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37160685--0.37151097) × cos(-0.98699067) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551203250358236 × 6371000     		du = 336.703321262113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98693783)-sin(-0.98699067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551247337752711-0.551203250358236)×R²
    abs(-0.37151097--0.37160685)×4.40873944748121e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40873944748121e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40873944748121e-05×40589641000000     		ar = 113353.564745524m²