Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28890 / 45146
↖ ↑ ↗
← S 56.053635°
W 21.302490°		 ← 341.07 m → S 56.053635°
W 21.296997°		 →
↑
341.04 m
↓
↑
341.04 m
↓
S 56.056702°
W 21.302490°		 ← 341.05 m →
116 315 m²		 S 56.056702°
W 21.296997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440834045410156 y=0.688880920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440834045410156 × 216)
    floor (0.440834045410156 × 65536)
    floor (28890.5)     		tx = 28890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688880920410156 × 216)
    floor (0.688880920410156 × 65536)
    floor (45146.5)     		ty = 45146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28890 / 45146 ti = "16/28890/45146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28890/45146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28890 ÷ 216
    28890 ÷ 65536     		x = 0.440826416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45146 ÷ 216
    45146 ÷ 65536     		y = 0.688873291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440826416015625 × 2 - 1) × π
    -0.11834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37179859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688873291015625 × 2 - 1) × π
    -0.37774658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18672588699411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37179859} λ = -0.37179859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18672588699411))-π/2
    2×atan(0.305218951243081)-π/2
    2×0.296237919009374-π/2
    0.592475838018748-1.57079632675     		φ = -0.97832049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37179859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.302490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97832049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.053635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28890 KachelY 45146 -0.37179859 -0.97832049 -21.302490 -56.053635
    Oben rechts KachelX + 1 28891 KachelY 45146 -0.37170272 -0.97832049 -21.296997 -56.053635
    Unten links KachelX 28890 KachelY + 1 45147 -0.37179859 -0.97837402 -21.302490 -56.056702
    Unten rechts KachelX + 1 28891 KachelY + 1 45147 -0.37170272 -0.97837402 -21.296997 -56.056702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97832049--0.97837402) × R
    5.35299999999683e-05 × 6371000     		dl = 341.039629999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97832049--0.97837402) × R
    5.35299999999683e-05 × 6371000     		dr = 341.039629999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37179859--0.37170272) × cos(-0.97832049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558416589137628 × 6371000     		do = 341.074023210371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37179859--0.37170272) × cos(-0.97837402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558372181954674 × 6371000     		du = 341.046899846122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97832049)-sin(-0.97837402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558416589137628-0.558372181954674)×R²
    abs(-0.37170272--0.37179859)×4.44071829549531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44071829549531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44071829549531e-05×40589641000000     		ar = 116315.133635026m²