Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28889 / 45143
↖ ↑ ↗
← S 56.044432°
W 21.307984°		 ← 341.19 m → S 56.044432°
W 21.302490°		 →
↑
341.17 m
↓
↑
341.17 m
↓
S 56.047500°
W 21.307984°		 ← 341.16 m →
116 398 m²		 S 56.047500°
W 21.302490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440818786621094 y=0.688835144042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440818786621094 × 216)
    floor (0.440818786621094 × 65536)
    floor (28889.5)     		tx = 28889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688835144042969 × 216)
    floor (0.688835144042969 × 65536)
    floor (45143.5)     		ty = 45143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28889 / 45143 ti = "16/28889/45143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28889/45143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28889 ÷ 216
    28889 ÷ 65536     		x = 0.440811157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45143 ÷ 216
    45143 ÷ 65536     		y = 0.688827514648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440811157226562 × 2 - 1) × π
    -0.118377685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37189447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688827514648438 × 2 - 1) × π
    -0.377655029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18643826559639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37189447} λ = -0.37189447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18643826559639))-π/2
    2×atan(0.305306751370441)-π/2
    2×0.296318234870391-π/2
    0.592636469740782-1.57079632675     		φ = -0.97815986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37189447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.307984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97815986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.044432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28889 KachelY 45143 -0.37189447 -0.97815986 -21.307984 -56.044432
    Oben rechts KachelX + 1 28890 KachelY 45143 -0.37179859 -0.97815986 -21.302490 -56.044432
    Unten links KachelX 28889 KachelY + 1 45144 -0.37189447 -0.97821341 -21.307984 -56.047500
    Unten rechts KachelX + 1 28890 KachelY + 1 45144 -0.37179859 -0.97821341 -21.302490 -56.047500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97815986--0.97821341) × R
    5.35499999999578e-05 × 6371000     		dl = 341.167049999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97815986--0.97821341) × R
    5.35499999999578e-05 × 6371000     		dr = 341.167049999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37189447--0.37179859) × cos(-0.97815986) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.558549834264098 × 6371000     		do = 341.190992913953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37189447--0.37179859) × cos(-0.97821341) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.558505415293066 × 6371000     		du = 341.163859519758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97815986)-sin(-0.97821341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558549834264098-0.558505415293066)×R²
    abs(-0.37179859--0.37189447)×4.44189710319121e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44189710319121e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44189710319121e-05×40589641000000     		ar = 116398.49605709m²