Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28889 / 45117
↖ ↑ ↗
← S 55.964576°
W 21.307984°		 ← 341.90 m → S 55.964576°
W 21.302490°		 →
↑
341.87 m
↓
↑
341.87 m
↓
S 55.967650°
W 21.307984°		 ← 341.87 m →
116 879 m²		 S 55.967650°
W 21.302490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440818786621094 y=0.688438415527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440818786621094 × 216)
    floor (0.440818786621094 × 65536)
    floor (28889.5)     		tx = 28889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688438415527344 × 216)
    floor (0.688438415527344 × 65536)
    floor (45117.5)     		ty = 45117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28889 / 45117 ti = "16/28889/45117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28889/45117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28889 ÷ 216
    28889 ÷ 65536     		x = 0.440811157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45117 ÷ 216
    45117 ÷ 65536     		y = 0.688430786132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440811157226562 × 2 - 1) × π
    -0.118377685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37189447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688430786132812 × 2 - 1) × π
    -0.376861572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18394554681615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37189447} λ = -0.37189447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18394554681615))-π/2
    2×atan(0.306068744566129)-π/2
    2×0.297015108672011-π/2
    0.594030217344022-1.57079632675     		φ = -0.97676611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37189447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.307984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97676611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.964576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28889 KachelY 45117 -0.37189447 -0.97676611 -21.307984 -55.964576
    Oben rechts KachelX + 1 28890 KachelY 45117 -0.37179859 -0.97676611 -21.302490 -55.964576
    Unten links KachelX 28889 KachelY + 1 45118 -0.37189447 -0.97681977 -21.307984 -55.967650
    Unten rechts KachelX + 1 28890 KachelY + 1 45118 -0.37179859 -0.97681977 -21.302490 -55.967650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97676611--0.97681977) × R
    5.36599999999554e-05 × 6371000     		dl = 341.867859999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97676611--0.97681977) × R
    5.36599999999554e-05 × 6371000     		dr = 341.867859999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37189447--0.37179859) × cos(-0.97676611) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.559705366545659 × 6371000     		do = 341.896851518332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37189447--0.37179859) × cos(-0.97681977) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.559660898144255 × 6371000     		du = 341.869687929521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97676611)-sin(-0.97681977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559705366545659-0.559660898144255)×R²
    abs(-0.37179859--0.37189447)×4.44684014039298e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44684014039298e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44684014039298e-05×40589641000000     		ar = 116878.901817906m²