Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28888 / 45145
↖ ↑ ↗
← S 56.050567°
W 21.313477°		 ← 341.10 m → S 56.050567°
W 21.307984°		 →
↑
341.10 m
↓
↑
341.10 m
↓
S 56.053635°
W 21.313477°		 ← 341.07 m →
116 346 m²		 S 56.053635°
W 21.307984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440803527832031 y=0.688865661621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440803527832031 × 216)
    floor (0.440803527832031 × 65536)
    floor (28888.5)     		tx = 28888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688865661621094 × 216)
    floor (0.688865661621094 × 65536)
    floor (45145.5)     		ty = 45145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28888 / 45145 ti = "16/28888/45145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28888/45145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28888 ÷ 216
    28888 ÷ 65536     		x = 0.4407958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45145 ÷ 216
    45145 ÷ 65536     		y = 0.688858032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.118408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37199034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688858032226562 × 2 - 1) × π
    -0.377716064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18663001319487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37199034} λ = -0.37199034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18663001319487))-π/2
    2×atan(0.305248215146335)-π/2
    2×0.29626468883392-π/2
    0.592529377667839-1.57079632675     		φ = -0.97826695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37199034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.313477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97826695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.050567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28888 KachelY 45145 -0.37199034 -0.97826695 -21.313477 -56.050567
    Oben rechts KachelX + 1 28889 KachelY 45145 -0.37189447 -0.97826695 -21.307984 -56.050567
    Unten links KachelX 28888 KachelY + 1 45146 -0.37199034 -0.97832049 -21.313477 -56.053635
    Unten rechts KachelX + 1 28889 KachelY + 1 45146 -0.37189447 -0.97832049 -21.307984 -56.053635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97826695--0.97832049) × R
    5.35400000000186e-05 × 6371000     		dl = 341.103340000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97826695--0.97832049) × R
    5.35400000000186e-05 × 6371000     		dr = 341.103340000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37199034--0.37189447) × cos(-0.97826695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55846100301577 × 6371000     		do = 341.101150663958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37199034--0.37189447) × cos(-0.97832049) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558416589137628 × 6371000     		du = 341.074023210371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97826695)-sin(-0.97832049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55846100301577-0.558416589137628)×R²
    abs(-0.37189447--0.37199034)×4.44138781416914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44138781416914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44138781416914e-05×40589641000000     		ar = 116346.115164552m²