Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28878 / 45135
↖ ↑ ↗
← S 56.019878°
W 21.368408°		 ← 341.37 m → S 56.019878°
W 21.362915°		 →
↑
341.36 m
↓
↑
341.36 m
↓
S 56.022948°
W 21.368408°		 ← 341.35 m →
116 526 m²		 S 56.022948°
W 21.362915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28878 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440650939941406 y=0.688713073730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440650939941406 × 216)
    floor (0.440650939941406 × 65536)
    floor (28878.5)     		tx = 28878
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688713073730469 × 216)
    floor (0.688713073730469 × 65536)
    floor (45135.5)     		ty = 45135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28878 / 45135 ti = "16/28878/45135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28878/45135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28878 ÷ 216
    28878 ÷ 65536     		x = 0.440643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45135 ÷ 216
    45135 ÷ 65536     		y = 0.688705444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.11871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37294908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688705444335938 × 2 - 1) × π
    -0.377410888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18567127520247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37294908} λ = -0.37294908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18567127520247))-π/2
    2×atan(0.305541008540957)-π/2
    2×0.296532504194921-π/2
    0.593065008389842-1.57079632675     		φ = -0.97773132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37294908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.368408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97773132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.019878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28878 KachelY 45135 -0.37294908 -0.97773132 -21.368408 -56.019878
    Oben rechts KachelX + 1 28879 KachelY 45135 -0.37285321 -0.97773132 -21.362915 -56.019878
    Unten links KachelX 28878 KachelY + 1 45136 -0.37294908 -0.97778490 -21.368408 -56.022948
    Unten rechts KachelX + 1 28879 KachelY + 1 45136 -0.37285321 -0.97778490 -21.362915 -56.022948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97773132--0.97778490) × R
    5.35799999999975e-05 × 6371000     		dl = 341.358179999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97773132--0.97778490) × R
    5.35799999999975e-05 × 6371000     		dr = 341.358179999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37294908--0.37285321) × cos(-0.97773132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558905244452913 × 6371000     		do = 341.372487900692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37294908--0.37285321) × cos(-0.97778490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558860813425385 × 6371000     		du = 341.345349972469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97773132)-sin(-0.97778490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558905244452913-0.558860813425385)×R²
    abs(-0.37285321--0.37294908)×4.4431027528602e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4431027528602e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4431027528602e-05×40589641000000     		ar = 116525.659323186m²