Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28876 / 45307
↖ ↑ ↗
← S 56.544344°
W 21.379395°		 ← 336.76 m → S 56.544344°
W 21.373901°		 →
↑
336.77 m
↓
↑
336.77 m
↓
S 56.547372°
W 21.379395°		 ← 336.73 m →
113 406 m²		 S 56.547372°
W 21.373901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440620422363281 y=0.691337585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440620422363281 × 216)
    floor (0.440620422363281 × 65536)
    floor (28876.5)     		tx = 28876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691337585449219 × 216)
    floor (0.691337585449219 × 65536)
    floor (45307.5)     		ty = 45307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28876 / 45307 ti = "16/28876/45307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28876/45307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28876 ÷ 216
    28876 ÷ 65536     		x = 0.44061279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45307 ÷ 216
    45307 ÷ 65536     		y = 0.691329956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44061279296875 × 2 - 1) × π
    -0.1187744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37314083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691329956054688 × 2 - 1) × π
    -0.382659912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20216156867177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37314083} λ = -0.37314083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20216156867177))-π/2
    2×atan(0.300543863079669)-π/2
    2×0.291955676714069-π/2
    0.583911353428139-1.57079632675     		φ = -0.98688497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37314083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.379395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98688497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.544344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28876 KachelY 45307 -0.37314083 -0.98688497 -21.379395 -56.544344
    Oben rechts KachelX + 1 28877 KachelY 45307 -0.37304495 -0.98688497 -21.373901 -56.544344
    Unten links KachelX 28876 KachelY + 1 45308 -0.37314083 -0.98693783 -21.379395 -56.547372
    Unten rechts KachelX + 1 28877 KachelY + 1 45308 -0.37304495 -0.98693783 -21.373901 -56.547372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98688497--0.98693783) × R
    5.28600000000434e-05 × 6371000     		dl = 336.771060000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98688497--0.98693783) × R
    5.28600000000434e-05 × 6371000     		dr = 336.771060000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37314083--0.37304495) × cos(-0.98688497) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551291440294322 × 6371000     		do = 336.757192215092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37314083--0.37304495) × cos(-0.98693783) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.551247337752711 × 6371000     		du = 336.730252112278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98688497)-sin(-0.98693783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551291440294322-0.551247337752711)×R²
    abs(-0.37304495--0.37314083)×4.41025416110241e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41025416110241e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41025416110241e-05×40589641000000     		ar = 113405.540288011m²