Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28873 / 45133
↖ ↑ ↗
← S 56.013737°
W 21.395874°		 ← 341.46 m → S 56.013737°
W 21.390381°		 →
↑
341.42 m
↓
↑
341.42 m
↓
S 56.016808°
W 21.395874°		 ← 341.44 m →
116 578 m²		 S 56.016808°
W 21.390381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440574645996094 y=0.688682556152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440574645996094 × 216)
    floor (0.440574645996094 × 65536)
    floor (28873.5)     		tx = 28873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688682556152344 × 216)
    floor (0.688682556152344 × 65536)
    floor (45133.5)     		ty = 45133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28873 / 45133 ti = "16/28873/45133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28873/45133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28873 ÷ 216
    28873 ÷ 65536     		x = 0.440567016601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45133 ÷ 216
    45133 ÷ 65536     		y = 0.688674926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440567016601562 × 2 - 1) × π
    -0.118865966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37342845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688674926757812 × 2 - 1) × π
    -0.377349853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18547952760399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37342845} λ = -0.37342845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18547952760399))-π/2
    2×atan(0.305599600912876)-π/2
    2×0.296586092824414-π/2
    0.593172185648827-1.57079632675     		φ = -0.97762414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37342845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.395874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97762414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.013737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28873 KachelY 45133 -0.37342845 -0.97762414 -21.395874 -56.013737
    Oben rechts KachelX + 1 28874 KachelY 45133 -0.37333257 -0.97762414 -21.390381 -56.013737
    Unten links KachelX 28873 KachelY + 1 45134 -0.37342845 -0.97767773 -21.395874 -56.016808
    Unten rechts KachelX + 1 28874 KachelY + 1 45134 -0.37333257 -0.97767773 -21.390381 -56.016808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97762414--0.97767773) × R
    5.35900000000478e-05 × 6371000     		dl = 341.421890000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97762414--0.97767773) × R
    5.35900000000478e-05 × 6371000     		dr = 341.421890000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37342845--0.37333257) × cos(-0.97762414) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.558994118277732 × 6371000     		do = 341.462384461419m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37342845--0.37333257) × cos(-0.97767773) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.558949682167943 × 6371000     		du = 341.435240597989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97762414)-sin(-0.97767773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558994118277732-0.558949682167943)×R²
    abs(-0.37333257--0.37342845)×4.44361097891033e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.44361097891033e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.44361097891033e-05×40589641000000     		ar = 116578.09894033m²