Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28864 / 45249
↖ ↑ ↗
← S 56.368293°
W 21.445312°		 ← 338.29 m → S 56.368293°
W 21.439819°		 →
↑
338.30 m
↓
↑
338.30 m
↓
S 56.371335°
W 21.445312°		 ← 338.26 m →
114 438 m²		 S 56.371335°
W 21.439819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440437316894531 y=0.690452575683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440437316894531 × 216)
    floor (0.440437316894531 × 65536)
    floor (28864.5)     		tx = 28864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690452575683594 × 216)
    floor (0.690452575683594 × 65536)
    floor (45249.5)     		ty = 45249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28864 / 45249 ti = "16/28864/45249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28864/45249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28864 ÷ 216
    28864 ÷ 65536     		x = 0.4404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45249 ÷ 216
    45249 ÷ 65536     		y = 0.690444946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4404296875 × 2 - 1) × π
    -0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690444946289062 × 2 - 1) × π
    -0.380889892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19660088831584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37429131} λ = -0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19660088831584))-π/2
    2×atan(0.302219746643242)-π/2
    2×0.293492013081103-π/2
    0.586984026162206-1.57079632675     		φ = -0.98381230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98381230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.368293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28864 KachelY 45249 -0.37429131 -0.98381230 -21.445312 -56.368293
    Oben rechts KachelX + 1 28865 KachelY 45249 -0.37419544 -0.98381230 -21.439819 -56.368293
    Unten links KachelX 28864 KachelY + 1 45250 -0.37429131 -0.98386540 -21.445312 -56.371335
    Unten rechts KachelX + 1 28865 KachelY + 1 45250 -0.37419544 -0.98386540 -21.439819 -56.371335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98381230--0.98386540) × R
    5.31000000000281e-05 × 6371000     		dl = 338.300100000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98381230--0.98386540) × R
    5.31000000000281e-05 × 6371000     		dr = 338.300100000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37429131--0.37419544) × cos(-0.98381230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553852401534598 × 6371000     		do = 338.286273242454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37429131--0.37419544) × cos(-0.98386540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.553808188904339 × 6371000     		du = 338.259268708612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98381230)-sin(-0.98386540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553852401534598-0.553808188904339)×R²
    abs(-0.37419544--0.37429131)×4.42126302588886e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42126302588886e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42126302588886e-05×40589641000000     		ar = 114437.712275524m²