Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28861 / 45119
↖ ↑ ↗
← S 55.970724°
W 21.461792°		 ← 341.81 m → S 55.970724°
W 21.456299°		 →
↑
341.80 m
↓
↑
341.80 m
↓
S 55.973798°
W 21.461792°		 ← 341.78 m →
116 826 m²		 S 55.973798°
W 21.456299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440391540527344 y=0.688468933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440391540527344 × 216)
    floor (0.440391540527344 × 65536)
    floor (28861.5)     		tx = 28861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688468933105469 × 216)
    floor (0.688468933105469 × 65536)
    floor (45119.5)     		ty = 45119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28861 / 45119 ti = "16/28861/45119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28861/45119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28861 ÷ 216
    28861 ÷ 65536     		x = 0.440383911132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45119 ÷ 216
    45119 ÷ 65536     		y = 0.688461303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440383911132812 × 2 - 1) × π
    -0.119232177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37457893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688461303710938 × 2 - 1) × π
    -0.376922607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18413729441463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37457893} λ = -0.37457893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18413729441463))-π/2
    2×atan(0.306010062245665)-π/2
    2×0.296961451855262-π/2
    0.593922903710523-1.57079632675     		φ = -0.97687342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37457893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.461792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97687342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.970724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28861 KachelY 45119 -0.37457893 -0.97687342 -21.461792 -55.970724
    Oben rechts KachelX + 1 28862 KachelY 45119 -0.37448306 -0.97687342 -21.456299 -55.970724
    Unten links KachelX 28861 KachelY + 1 45120 -0.37457893 -0.97692707 -21.461792 -55.973798
    Unten rechts KachelX + 1 28862 KachelY + 1 45120 -0.37448306 -0.97692707 -21.456299 -55.973798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97687342--0.97692707) × R
    5.36500000000162e-05 × 6371000     		dl = 341.804150000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97687342--0.97692707) × R
    5.36500000000162e-05 × 6371000     		dr = 341.804150000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37457893--0.37448306) × cos(-0.97687342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559616436418883 × 6371000     		do = 341.806875255629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37457893--0.37448306) × cos(-0.97692707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.559571973082755 × 6371000     		du = 341.779717593709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97687342)-sin(-0.97692707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559616436418883-0.559571973082755)×R²
    abs(-0.37448306--0.37457893)×4.44633361282865e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44633361282865e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44633361282865e-05×40589641000000     		ar = 116826.36718821m²