Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28858 / 45218
↖ ↑ ↗
← S 56.273861°
W 21.478272°		 ← 339.16 m → S 56.273861°
W 21.472778°		 →
↑
339.13 m
↓
↑
339.13 m
↓
S 56.276911°
W 21.478272°		 ← 339.13 m →
115 014 m²		 S 56.276911°
W 21.472778°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440345764160156 y=0.689979553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440345764160156 × 216)
    floor (0.440345764160156 × 65536)
    floor (28858.5)     		tx = 28858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689979553222656 × 216)
    floor (0.689979553222656 × 65536)
    floor (45218.5)     		ty = 45218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28858 / 45218 ti = "16/28858/45218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28858/45218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28858 ÷ 216
    28858 ÷ 65536     		x = 0.440338134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45218 ÷ 216
    45218 ÷ 65536     		y = 0.689971923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440338134765625 × 2 - 1) × π
    -0.11932373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37486656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689971923828125 × 2 - 1) × π
    -0.37994384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1936288005394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37486656} λ = -0.37486656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1936288005394))-π/2
    2×atan(0.303119306381117)-π/2
    2×0.294316080884622-π/2
    0.588632161769243-1.57079632675     		φ = -0.98216416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37486656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.478272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98216416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.273861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28858 KachelY 45218 -0.37486656 -0.98216416 -21.478272 -56.273861
    Oben rechts KachelX + 1 28859 KachelY 45218 -0.37477068 -0.98216416 -21.472778 -56.273861
    Unten links KachelX 28858 KachelY + 1 45219 -0.37486656 -0.98221739 -21.478272 -56.276911
    Unten rechts KachelX + 1 28859 KachelY + 1 45219 -0.37477068 -0.98221739 -21.472778 -56.276911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98216416--0.98221739) × R
    5.32300000000152e-05 × 6371000     		dl = 339.128330000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98216416--0.98221739) × R
    5.32300000000152e-05 × 6371000     		dr = 339.128330000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37486656--0.37477068) × cos(-0.98216416) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.555223914548195 × 6371000     		do = 339.159349933133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37486656--0.37477068) × cos(-0.98221739) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.555179642322149 × 6371000     		du = 339.132306178329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98216416)-sin(-0.98221739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555223914548195-0.555179642322149)×R²
    abs(-0.37477068--0.37486656)×4.42722260458606e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.42722260458606e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.42722260458606e-05×40589641000000     		ar = 115013.958322313m²