Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28852 / 45116
↖ ↑ ↗
← S 55.961501°
W 21.511231°		 ← 341.92 m → S 55.961501°
W 21.505737°		 →
↑
341.87 m
↓
↑
341.87 m
↓
S 55.964576°
W 21.511231°		 ← 341.90 m →
116 888 m²		 S 55.964576°
W 21.505737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440254211425781 y=0.688423156738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440254211425781 × 216)
    floor (0.440254211425781 × 65536)
    floor (28852.5)     		tx = 28852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688423156738281 × 216)
    floor (0.688423156738281 × 65536)
    floor (45116.5)     		ty = 45116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28852 / 45116 ti = "16/28852/45116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28852/45116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28852 ÷ 216
    28852 ÷ 65536     		x = 0.44024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45116 ÷ 216
    45116 ÷ 65536     		y = 0.68841552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.1195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37544180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68841552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3768310546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18384967301691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37544180} λ = -0.37544180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18384967301691))-π/2
    2×atan(0.306098089946203)-π/2
    2×0.297041940277862-π/2
    0.594083880555723-1.57079632675     		φ = -0.97671245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37544180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97671245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.961501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28852 KachelY 45116 -0.37544180 -0.97671245 -21.511231 -55.961501
    Oben rechts KachelX + 1 28853 KachelY 45116 -0.37534592 -0.97671245 -21.505737 -55.961501
    Unten links KachelX 28852 KachelY + 1 45117 -0.37544180 -0.97676611 -21.511231 -55.964576
    Unten rechts KachelX + 1 28853 KachelY + 1 45117 -0.37534592 -0.97676611 -21.505737 -55.964576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97671245--0.97676611) × R
    5.36600000000664e-05 × 6371000     		dl = 341.867860000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97671245--0.97676611) × R
    5.36600000000664e-05 × 6371000     		dr = 341.867860000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37544180--0.37534592) × cos(-0.97671245) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55974983333545 × 6371000     		do = 341.924014122687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37544180--0.37534592) × cos(-0.97676611) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.559705366545659 × 6371000     		du = 341.896851518332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97671245)-sin(-0.97676611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55974983333545-0.559705366545659)×R²
    abs(-0.37534592--0.37544180)×4.44667897907536e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44667897907536e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44667897907536e-05×40589641000000     		ar = 116888.188008477m²