Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28852 / 44345
↖ ↑ ↗
← S 53.517451°
W 21.511231°		 ← 363.20 m → S 53.517451°
W 21.505737°		 →
↑
363.21 m
↓
↑
363.21 m
↓
S 53.520717°
W 21.511231°		 ← 363.17 m →
131 913 m²		 S 53.520717°
W 21.505737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28852 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440254211425781 y=0.676658630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440254211425781 × 216)
    floor (0.440254211425781 × 65536)
    floor (28852.5)     		tx = 28852
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676658630371094 × 216)
    floor (0.676658630371094 × 65536)
    floor (44345.5)     		ty = 44345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28852 / 44345 ti = "16/28852/44345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28852/44345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28852 ÷ 216
    28852 ÷ 65536     		x = 0.44024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44345 ÷ 216
    44345 ÷ 65536     		y = 0.676651000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.1195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37544180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676651000976562 × 2 - 1) × π
    -0.353302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10993097380278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37544180} λ = -0.37544180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10993097380278))-π/2
    2×atan(0.329581710062161)-π/2
    2×0.318370301882333-π/2
    0.636740603764666-1.57079632675     		φ = -0.93405572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37544180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.511231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93405572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.517451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28852 KachelY 44345 -0.37544180 -0.93405572 -21.511231 -53.517451
    Oben rechts KachelX + 1 28853 KachelY 44345 -0.37534592 -0.93405572 -21.505737 -53.517451
    Unten links KachelX 28852 KachelY + 1 44346 -0.37544180 -0.93411273 -21.511231 -53.520717
    Unten rechts KachelX + 1 28853 KachelY + 1 44346 -0.37534592 -0.93411273 -21.505737 -53.520717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93405572--0.93411273) × R
    5.7009999999913e-05 × 6371000     		dl = 363.210709999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93405572--0.93411273) × R
    5.7009999999913e-05 × 6371000     		dr = 363.210709999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37544180--0.37534592) × cos(-0.93405572) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.594577928335184 × 6371000     		do = 363.198807498853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37544180--0.37534592) × cos(-0.93411273) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.594532089163247 × 6371000     		du = 363.170806572833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93405572)-sin(-0.93411273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.594577928335184-0.594532089163247)×R²
    abs(-0.37534592--0.37544180)×4.58391719369011e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58391719369011e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58391719369011e-05×40589641000000     		ar = 131912.611660261m²