Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28848 / 44048
↖ ↑ ↗
← S 52.536273°
W 21.533203°		 ← 371.52 m → S 52.536273°
W 21.527710°		 →
↑
371.56 m
↓
↑
371.56 m
↓
S 52.539614°
W 21.533203°		 ← 371.49 m →
138 034 m²		 S 52.539614°
W 21.527710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440193176269531 y=0.672126770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440193176269531 × 216)
    floor (0.440193176269531 × 65536)
    floor (28848.5)     		tx = 28848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672126770019531 × 216)
    floor (0.672126770019531 × 65536)
    floor (44048.5)     		ty = 44048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28848 / 44048 ti = "16/28848/44048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28848/44048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28848 ÷ 216
    28848 ÷ 65536     		x = 0.440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44048 ÷ 216
    44048 ÷ 65536     		y = 0.672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.11962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37582529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672119140625 × 2 - 1) × π
    -0.34423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.08145645542847
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37582529} λ = -0.37582529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08145645542847))-π/2
    2×atan(0.339101279908942)-π/2
    2×0.326932692756747-π/2
    0.653865385513495-1.57079632675     		φ = -0.91693094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37582529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91693094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.536273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28848 KachelY 44048 -0.37582529 -0.91693094 -21.533203 -52.536273
    Oben rechts KachelX + 1 28849 KachelY 44048 -0.37572942 -0.91693094 -21.527710 -52.536273
    Unten links KachelX 28848 KachelY + 1 44049 -0.37582529 -0.91698926 -21.533203 -52.539614
    Unten rechts KachelX + 1 28849 KachelY + 1 44049 -0.37572942 -0.91698926 -21.527710 -52.539614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91693094--0.91698926) × R
    5.83200000000561e-05 × 6371000     		dl = 371.556720000357m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91693094--0.91698926) × R
    5.83200000000561e-05 × 6371000     		dr = 371.556720000357m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37582529--0.37572942) × cos(-0.91693094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608259048771312 × 6371000     		do = 371.517187981343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37582529--0.37572942) × cos(-0.91698926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.60821275690308 × 6371000     		du = 371.488913474376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91693094)-sin(-0.91698926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608259048771312-0.60821275690308)×R²
    abs(-0.37572942--0.37582529)×4.629186823224e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.629186823224e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.629186823224e-05×40589641000000     		ar = 138034.455037895m²