Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28828 / 44826
↖ ↑ ↗
← S 55.059495°
W 21.643066°		 ← 349.81 m → S 55.059495°
W 21.637574°		 →
↑
349.77 m
↓
↑
349.77 m
↓
S 55.062641°
W 21.643066°		 ← 349.79 m →
122 349 m²		 S 55.062641°
W 21.637574°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439888000488281 y=0.683998107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439888000488281 × 216)
    floor (0.439888000488281 × 65536)
    floor (28828.5)     		tx = 28828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683998107910156 × 216)
    floor (0.683998107910156 × 65536)
    floor (44826.5)     		ty = 44826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28828 / 44826 ti = "16/28828/44826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28828/44826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28828 ÷ 216
    28828 ÷ 65536     		x = 0.43988037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44826 ÷ 216
    44826 ÷ 65536     		y = 0.683990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.1202392578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37774277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683990478515625 × 2 - 1) × π
    -0.36798095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15604627123727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37774277} λ = -0.37774277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15604627123727))-π/2
    2×atan(0.314728073648483)-π/2
    2×0.304913425277777-π/2
    0.609826850555554-1.57079632675     		φ = -0.96096948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37774277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.643066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96096948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.059495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28828 KachelY 44826 -0.37774277 -0.96096948 -21.643066 -55.059495
    Oben rechts KachelX + 1 28829 KachelY 44826 -0.37764690 -0.96096948 -21.637574 -55.059495
    Unten links KachelX 28828 KachelY + 1 44827 -0.37774277 -0.96102438 -21.643066 -55.062641
    Unten rechts KachelX + 1 28829 KachelY + 1 44827 -0.37764690 -0.96102438 -21.637574 -55.062641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96096948--0.96102438) × R
    5.48999999999689e-05 × 6371000     		dl = 349.767899999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96096948--0.96102438) × R
    5.48999999999689e-05 × 6371000     		dr = 349.767899999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37774277--0.37764690) × cos(-0.96096948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572725526831979 × 6371000     		do = 349.813747355772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37774277--0.37764690) × cos(-0.96102438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.572680521847654 × 6371000     		du = 349.786258861757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96096948)-sin(-0.96102438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572725526831979-0.572680521847654)×R²
    abs(-0.37764690--0.37774277)×4.50049843243594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50049843243594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50049843243594e-05×40589641000000     		ar = 122348.812538115m²