Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28825 / 44776
↖ ↑ ↗
← S 54.901882°
W 21.659546°		 ← 351.19 m → S 54.901882°
W 21.654053°		 →
↑
351.17 m
↓
↑
351.17 m
↓
S 54.905040°
W 21.659546°		 ← 351.16 m →
123 322 m²		 S 54.905040°
W 21.654053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439842224121094 y=0.683235168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439842224121094 × 216)
    floor (0.439842224121094 × 65536)
    floor (28825.5)     		tx = 28825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683235168457031 × 216)
    floor (0.683235168457031 × 65536)
    floor (44776.5)     		ty = 44776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28825 / 44776 ti = "16/28825/44776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28825/44776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28825 ÷ 216
    28825 ÷ 65536     		x = 0.439834594726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44776 ÷ 216
    44776 ÷ 65536     		y = 0.6832275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439834594726562 × 2 - 1) × π
    -0.120330810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37803039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.366455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15125258127527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37803039} λ = -0.37803039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15125258127527))-π/2
    2×atan(0.316240404382178)-π/2
    2×0.306288858550961-π/2
    0.612577717101922-1.57079632675     		φ = -0.95821861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37803039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.659546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95821861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.901882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28825 KachelY 44776 -0.37803039 -0.95821861 -21.659546 -54.901882
    Oben rechts KachelX + 1 28826 KachelY 44776 -0.37793452 -0.95821861 -21.654053 -54.901882
    Unten links KachelX 28825 KachelY + 1 44777 -0.37803039 -0.95827373 -21.659546 -54.905040
    Unten rechts KachelX + 1 28826 KachelY + 1 44777 -0.37793452 -0.95827373 -21.654053 -54.905040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95821861--0.95827373) × R
    5.51200000000751e-05 × 6371000     		dl = 351.169520000479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95821861--0.95827373) × R
    5.51200000000751e-05 × 6371000     		dr = 351.169520000479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37803039--0.37793452) × cos(-0.95821861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574978374978823 × 6371000     		do = 351.189759451531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37803039--0.37793452) × cos(-0.95827373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574933276651813 × 6371000     		du = 351.162213944946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95821861)-sin(-0.95827373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574978374978823-0.574933276651813)×R²
    abs(-0.37793452--0.37803039)×4.50983270093852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50983270093852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50983270093852e-05×40589641000000     		ar = 123322.302715498m²