Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28823 / 44085
↖ ↑ ↗
← S 52.659726°
W 21.670532°		 ← 370.51 m → S 52.659726°
W 21.665039°		 →
↑
370.47 m
↓
↑
370.47 m
↓
S 52.663058°
W 21.670532°		 ← 370.48 m →
137 259 m²		 S 52.663058°
W 21.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439811706542969 y=0.672691345214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439811706542969 × 216)
    floor (0.439811706542969 × 65536)
    floor (28823.5)     		tx = 28823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672691345214844 × 216)
    floor (0.672691345214844 × 65536)
    floor (44085.5)     		ty = 44085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28823 / 44085 ti = "16/28823/44085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28823/44085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28823 ÷ 216
    28823 ÷ 65536     		x = 0.439804077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44085 ÷ 216
    44085 ÷ 65536     		y = 0.672683715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439804077148438 × 2 - 1) × π
    -0.120391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37822214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672683715820312 × 2 - 1) × π
    -0.345367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08500378600035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37822214} λ = -0.37822214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08500378600035))-π/2
    2×atan(0.337900506600855)-π/2
    2×0.325855363039382-π/2
    0.651710726078765-1.57079632675     		φ = -0.91908560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37822214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.670532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91908560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.659726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28823 KachelY 44085 -0.37822214 -0.91908560 -21.670532 -52.659726
    Oben rechts KachelX + 1 28824 KachelY 44085 -0.37812626 -0.91908560 -21.665039 -52.659726
    Unten links KachelX 28823 KachelY + 1 44086 -0.37822214 -0.91914375 -21.670532 -52.663058
    Unten rechts KachelX + 1 28824 KachelY + 1 44086 -0.37812626 -0.91914375 -21.665039 -52.663058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91908560--0.91914375) × R
    5.81500000000901e-05 × 6371000     		dl = 370.473650000574m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91908560--0.91914375) × R
    5.81500000000901e-05 × 6371000     		dr = 370.473650000574m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37822214--0.37812626) × cos(-0.91908560) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606547401392058 × 6371000     		do = 370.510377830464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37822214--0.37812626) × cos(-0.91914375) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606501168364606 × 6371000     		du = 370.48213631722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91908560)-sin(-0.91914375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606547401392058-0.606501168364606)×R²
    abs(-0.37812626--0.37822214)×4.62330274513256e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62330274513256e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62330274513256e-05×40589641000000     		ar = 137259.10070844m²