Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28820 / 45220
↖ ↑ ↗
← S 56.279961°
W 21.687012°		 ← 339.07 m → S 56.279961°
W 21.681519°		 →
↑
339.06 m
↓
↑
339.06 m
↓
S 56.283010°
W 21.687012°		 ← 339.04 m →
114 962 m²		 S 56.283010°
W 21.681519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439765930175781 y=0.690010070800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439765930175781 × 216)
    floor (0.439765930175781 × 65536)
    floor (28820.5)     		tx = 28820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690010070800781 × 216)
    floor (0.690010070800781 × 65536)
    floor (45220.5)     		ty = 45220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28820 / 45220 ti = "16/28820/45220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28820/45220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28820 ÷ 216
    28820 ÷ 65536     		x = 0.43975830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45220 ÷ 216
    45220 ÷ 65536     		y = 0.69000244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43975830078125 × 2 - 1) × π
    -0.1204833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37850976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.69000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.3800048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19382054813788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37850976} λ = -0.37850976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19382054813788))-π/2
    2×atan(0.303061189554124)-π/2
    2×0.294262853703366-π/2
    0.588525707406731-1.57079632675     		φ = -0.98227062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37850976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.687012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98227062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.279961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28820 KachelY 45220 -0.37850976 -0.98227062 -21.687012 -56.279961
    Oben rechts KachelX + 1 28821 KachelY 45220 -0.37841389 -0.98227062 -21.681519 -56.279961
    Unten links KachelX 28820 KachelY + 1 45221 -0.37850976 -0.98232384 -21.687012 -56.283010
    Unten rechts KachelX + 1 28821 KachelY + 1 45221 -0.37841389 -0.98232384 -21.681519 -56.283010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98227062--0.98232384) × R
    5.3219999999965e-05 × 6371000     		dl = 339.064619999777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98227062--0.98232384) × R
    5.3219999999965e-05 × 6371000     		dr = 339.064619999777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37850976--0.37841389) × cos(-0.98227062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555135368523039 × 6371000     		do = 339.069893788308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37850976--0.37841389) × cos(-0.98232384) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555091101468886 × 6371000     		du = 339.042856013017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98227062)-sin(-0.98232384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555135368523039-0.555091101468886)×R²
    abs(-0.37841389--0.37850976)×4.42670541532797e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42670541532797e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42670541532797e-05×40589641000000     		ar = 114962.020941521m²