Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28815 / 44733
↖ ↑ ↗
← S 54.765840°
W 21.714478°		 ← 352.41 m → S 54.765840°
W 21.708984°		 →
↑
352.38 m
↓
↑
352.38 m
↓
S 54.769009°
W 21.714478°		 ← 352.38 m →
124 178 m²		 S 54.769009°
W 21.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439689636230469 y=0.682579040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439689636230469 × 216)
    floor (0.439689636230469 × 65536)
    floor (28815.5)     		tx = 28815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682579040527344 × 216)
    floor (0.682579040527344 × 65536)
    floor (44733.5)     		ty = 44733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28815 / 44733 ti = "16/28815/44733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28815/44733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28815 ÷ 216
    28815 ÷ 65536     		x = 0.439682006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44733 ÷ 216
    44733 ÷ 65536     		y = 0.682571411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439682006835938 × 2 - 1) × π
    -0.120635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37898913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682571411132812 × 2 - 1) × π
    -0.365142822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.14713000790794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37898913} λ = -0.37898913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14713000790794))-π/2
    2×atan(0.317546819697171)-π/2
    2×0.307476053762016-π/2
    0.614952107524031-1.57079632675     		φ = -0.95584422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37898913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.714478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95584422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.765840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28815 KachelY 44733 -0.37898913 -0.95584422 -21.714478 -54.765840
    Oben rechts KachelX + 1 28816 KachelY 44733 -0.37889325 -0.95584422 -21.708984 -54.765840
    Unten links KachelX 28815 KachelY + 1 44734 -0.37898913 -0.95589953 -21.714478 -54.769009
    Unten rechts KachelX + 1 28816 KachelY + 1 44734 -0.37889325 -0.95589953 -21.708984 -54.769009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95584422--0.95589953) × R
    5.53100000000306e-05 × 6371000     		dl = 352.380010000195m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95584422--0.95589953) × R
    5.53100000000306e-05 × 6371000     		dr = 352.380010000195m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37898913--0.37889325) × cos(-0.95584422) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576919403725494 × 6371000     		do = 352.412071606409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37898913--0.37889325) × cos(-0.95589953) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.576874225575419 × 6371000     		du = 352.384474466571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95584422)-sin(-0.95589953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576919403725494-0.576874225575419)×R²
    abs(-0.37889325--0.37898913)×4.51781500756532e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51781500756532e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51781500756532e-05×40589641000000     		ar = 124178.107008426m²