Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28815 / 44305
↖ ↑ ↗
← S 53.386605°
W 21.714478°		 ← 364.32 m → S 53.386605°
W 21.708984°		 →
↑
364.29 m
↓
↑
364.29 m
↓
S 53.389881°
W 21.714478°		 ← 364.29 m →
132 714 m²		 S 53.389881°
W 21.708984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439689636230469 y=0.676048278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439689636230469 × 216)
    floor (0.439689636230469 × 65536)
    floor (28815.5)     		tx = 28815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676048278808594 × 216)
    floor (0.676048278808594 × 65536)
    floor (44305.5)     		ty = 44305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28815 / 44305 ti = "16/28815/44305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28815/44305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28815 ÷ 216
    28815 ÷ 65536     		x = 0.439682006835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44305 ÷ 216
    44305 ÷ 65536     		y = 0.676040649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439682006835938 × 2 - 1) × π
    -0.120635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37898913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676040649414062 × 2 - 1) × π
    -0.352081298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.10609602183318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37898913} λ = -0.37898913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10609602183318))-π/2
    2×atan(0.33084806674683)-π/2
    2×0.319512149294465-π/2
    0.63902429858893-1.57079632675     		φ = -0.93177203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37898913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.714478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93177203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.386605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28815 KachelY 44305 -0.37898913 -0.93177203 -21.714478 -53.386605
    Oben rechts KachelX + 1 28816 KachelY 44305 -0.37889325 -0.93177203 -21.708984 -53.386605
    Unten links KachelX 28815 KachelY + 1 44306 -0.37898913 -0.93182921 -21.714478 -53.389881
    Unten rechts KachelX + 1 28816 KachelY + 1 44306 -0.37889325 -0.93182921 -21.708984 -53.389881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93177203--0.93182921) × R
    5.717999999999e-05 × 6371000     		dl = 364.293779999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93177203--0.93182921) × R
    5.717999999999e-05 × 6371000     		dr = 364.293779999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37898913--0.37889325) × cos(-0.93177203) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.596412549820762 × 6371000     		do = 364.319488748558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37898913--0.37889325) × cos(-0.93182921) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.59636665171423 × 6371000     		du = 364.291451822254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93177203)-sin(-0.93182921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596412549820762-0.59636665171423)×R²
    abs(-0.37889325--0.37898913)×4.58981065327713e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.58981065327713e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.58981065327713e-05×40589641000000     		ar = 132714.216881003m²