Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28810 / 44798
↖ ↑ ↗
← S 54.971308°
W 21.741944°		 ← 350.62 m → S 54.971308°
W 21.736450°		 →
↑
350.60 m
↓
↑
350.60 m
↓
S 54.974461°
W 21.741944°		 ← 350.59 m →
122 921 m²		 S 54.974461°
W 21.736450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439613342285156 y=0.683570861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439613342285156 × 216)
    floor (0.439613342285156 × 65536)
    floor (28810.5)     		tx = 28810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683570861816406 × 216)
    floor (0.683570861816406 × 65536)
    floor (44798.5)     		ty = 44798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28810 / 44798 ti = "16/28810/44798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28810/44798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28810 ÷ 216
    28810 ÷ 65536     		x = 0.439605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44798 ÷ 216
    44798 ÷ 65536     		y = 0.683563232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439605712890625 × 2 - 1) × π
    -0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683563232421875 × 2 - 1) × π
    -0.36712646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15336180485855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37946850} λ = -0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15336180485855))-π/2
    2×atan(0.315574085617921)-π/2
    2×0.305683002638241-π/2
    0.611366005276482-1.57079632675     		φ = -0.95943032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95943032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.971308°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28810 KachelY 44798 -0.37946850 -0.95943032 -21.741944 -54.971308
    Oben rechts KachelX + 1 28811 KachelY 44798 -0.37937262 -0.95943032 -21.736450 -54.971308
    Unten links KachelX 28810 KachelY + 1 44799 -0.37946850 -0.95948535 -21.741944 -54.974461
    Unten rechts KachelX + 1 28811 KachelY + 1 44799 -0.37937262 -0.95948535 -21.736450 -54.974461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95943032--0.95948535) × R
    5.5030000000067e-05 × 6371000     		dl = 350.596130000427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95943032--0.95948535) × R
    5.5030000000067e-05 × 6371000     		dr = 350.596130000427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37946850--0.37937262) × cos(-0.95943032) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573986570036106 × 6371000     		do = 350.620545806652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37946850--0.37937262) × cos(-0.95948535) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.573941507041896 × 6371000     		du = 350.593019009946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95943032)-sin(-0.95948535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573986570036106-0.573941507041896)×R²
    abs(-0.37937262--0.37946850)×4.50629942095881e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.50629942095881e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.50629942095881e-05×40589641000000     		ar = 122921.381095418m²