Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28809 / 44873
↖ ↑ ↗
← S 55.207088°
W 21.747436°		 ← 348.52 m → S 55.207088°
W 21.741944°		 →
↑
348.56 m
↓
↑
348.56 m
↓
S 55.210222°
W 21.747436°		 ← 348.50 m →
121 475 m²		 S 55.210222°
W 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439598083496094 y=0.684715270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439598083496094 × 216)
    floor (0.439598083496094 × 65536)
    floor (28809.5)     		tx = 28809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684715270996094 × 216)
    floor (0.684715270996094 × 65536)
    floor (44873.5)     		ty = 44873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28809 / 44873 ti = "16/28809/44873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28809/44873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28809 ÷ 216
    28809 ÷ 65536     		x = 0.439590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44873 ÷ 216
    44873 ÷ 65536     		y = 0.684707641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439590454101562 × 2 - 1) × π
    -0.120819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37956437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684707641601562 × 2 - 1) × π
    -0.369415283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.16055233980156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37956437} λ = -0.37956437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16055233980156))-π/2
    2×atan(0.313313077797928)-π/2
    2×0.303625436727435-π/2
    0.60725087345487-1.57079632675     		φ = -0.96354545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37956437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.747436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96354545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.207088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28809 KachelY 44873 -0.37956437 -0.96354545 -21.747436 -55.207088
    Oben rechts KachelX + 1 28810 KachelY 44873 -0.37946850 -0.96354545 -21.741944 -55.207088
    Unten links KachelX 28809 KachelY + 1 44874 -0.37956437 -0.96360016 -21.747436 -55.210222
    Unten rechts KachelX + 1 28810 KachelY + 1 44874 -0.37946850 -0.96360016 -21.741944 -55.210222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96354545--0.96360016) × R
    5.47100000000134e-05 × 6371000     		dl = 348.557410000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96354545--0.96360016) × R
    5.47100000000134e-05 × 6371000     		dr = 348.557410000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37956437--0.37946850) × cos(-0.96354545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570611984780257 × 6371000     		do = 348.522821719199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37956437--0.37946850) × cos(-0.96360016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570567054990951 × 6371000     		du = 348.495379153383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96354545)-sin(-0.96360016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570611984780257-0.570567054990951)×R²
    abs(-0.37946850--0.37956437)×4.49297893059253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49297893059253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49297893059253e-05×40589641000000     		ar = 121475.429439869m²