Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28809 / 43913
↖ ↑ ↗
← S 52.082882°
W 21.747436°		 ← 375.34 m → S 52.082882°
W 21.741944°		 →
↑
375.38 m
↓
↑
375.38 m
↓
S 52.086258°
W 21.747436°		 ← 375.31 m →
140 890 m²		 S 52.086258°
W 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439598083496094 y=0.670066833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439598083496094 × 216)
    floor (0.439598083496094 × 65536)
    floor (28809.5)     		tx = 28809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670066833496094 × 216)
    floor (0.670066833496094 × 65536)
    floor (43913.5)     		ty = 43913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28809 / 43913 ti = "16/28809/43913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28809/43913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28809 ÷ 216
    28809 ÷ 65536     		x = 0.439590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43913 ÷ 216
    43913 ÷ 65536     		y = 0.670059204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439590454101562 × 2 - 1) × π
    -0.120819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37956437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670059204101562 × 2 - 1) × π
    -0.340118408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.06851349253105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37956437} λ = -0.37956437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06851349253105))-π/2
    2×atan(0.343518781303339)-π/2
    2×0.330889277775609-π/2
    0.661778555551217-1.57079632675     		φ = -0.90901777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37956437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.747436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90901777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.082882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28809 KachelY 43913 -0.37956437 -0.90901777 -21.747436 -52.082882
    Oben rechts KachelX + 1 28810 KachelY 43913 -0.37946850 -0.90901777 -21.741944 -52.082882
    Unten links KachelX 28809 KachelY + 1 43914 -0.37956437 -0.90907669 -21.747436 -52.086258
    Unten rechts KachelX + 1 28810 KachelY + 1 43914 -0.37946850 -0.90907669 -21.741944 -52.086258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90901777--0.90907669) × R
    5.89200000000734e-05 × 6371000     		dl = 375.379320000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90901777--0.90907669) × R
    5.89200000000734e-05 × 6371000     		dr = 375.379320000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37956437--0.37946850) × cos(-0.90901777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614520927558863 × 6371000     		do = 375.341866962001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37956437--0.37946850) × cos(-0.90907669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614474444473609 × 6371000     		du = 375.313475662016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90901777)-sin(-0.90907669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614520927558863-0.614474444473609)×R²
    abs(-0.37946850--0.37956437)×4.64830852543452e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64830852543452e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64830852543452e-05×40589641000000     		ar = 140890.246075309m²