Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28802 / 45186
↖ ↑ ↗
← S 56.176139°
W 21.785889°		 ← 340.03 m → S 56.176139°
W 21.780395°		 →
↑
339.96 m
↓
↑
339.96 m
↓
S 56.179196°
W 21.785889°		 ← 340 m →
115 589 m²		 S 56.179196°
W 21.780395°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439491271972656 y=0.689491271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439491271972656 × 216)
    floor (0.439491271972656 × 65536)
    floor (28802.5)     		tx = 28802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689491271972656 × 216)
    floor (0.689491271972656 × 65536)
    floor (45186.5)     		ty = 45186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28802 / 45186 ti = "16/28802/45186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28802/45186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28802 ÷ 216
    28802 ÷ 65536     		x = 0.439483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45186 ÷ 216
    45186 ÷ 65536     		y = 0.689483642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.12103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38023549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.37896728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19056083896371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38023549} λ = -0.38023549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19056083896371))-π/2
    2×atan(0.304050692764212)-π/2
    2×0.295168870821388-π/2
    0.590337741642777-1.57079632675     		φ = -0.98045859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38023549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.785889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98045859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.176139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28802 KachelY 45186 -0.38023549 -0.98045859 -21.785889 -56.176139
    Oben rechts KachelX + 1 28803 KachelY 45186 -0.38013961 -0.98045859 -21.780395 -56.176139
    Unten links KachelX 28802 KachelY + 1 45187 -0.38023549 -0.98051195 -21.785889 -56.179196
    Unten rechts KachelX + 1 28803 KachelY + 1 45187 -0.38013961 -0.98051195 -21.780395 -56.179196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98045859--0.98051195) × R
    5.33600000000023e-05 × 6371000     		dl = 339.956560000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98045859--0.98051195) × R
    5.33600000000023e-05 × 6371000     		dr = 339.956560000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38023549--0.38013961) × cos(-0.98045859) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.556641630418179 × 6371000     		do = 340.025363770532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38023549--0.38013961) × cos(-0.98051195) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.556597300660168 × 6371000     		du = 339.998284872242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98045859)-sin(-0.98051195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556641630418179-0.556597300660168)×R²
    abs(-0.38013961--0.38023549)×4.43297580117186e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43297580117186e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43297580117186e-05×40589641000000     		ar = 115589.250183215m²