Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28799 / 45189
↖ ↑ ↗
← S 56.185311°
W 21.802368°		 ← 339.91 m → S 56.185311°
W 21.796875°		 →
↑
339.89 m
↓
↑
339.89 m
↓
S 56.188368°
W 21.802368°		 ← 339.88 m →
115 528 m²		 S 56.188368°
W 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439445495605469 y=0.689537048339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439445495605469 × 216)
    floor (0.439445495605469 × 65536)
    floor (28799.5)     		tx = 28799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689537048339844 × 216)
    floor (0.689537048339844 × 65536)
    floor (45189.5)     		ty = 45189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28799 / 45189 ti = "16/28799/45189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28799/45189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28799 ÷ 216
    28799 ÷ 65536     		x = 0.439437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45189 ÷ 216
    45189 ÷ 65536     		y = 0.689529418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439437866210938 × 2 - 1) × π
    -0.121124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38052311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689529418945312 × 2 - 1) × π
    -0.379058837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19084846036143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38052311} λ = -0.38052311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19084846036143))-π/2
    2×atan(0.303963253854235)-π/2
    2×0.29508882936229-π/2
    0.590177658724581-1.57079632675     		φ = -0.98061867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38052311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.802368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98061867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.185311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28799 KachelY 45189 -0.38052311 -0.98061867 -21.802368 -56.185311
    Oben rechts KachelX + 1 28800 KachelY 45189 -0.38042724 -0.98061867 -21.796875 -56.185311
    Unten links KachelX 28799 KachelY + 1 45190 -0.38052311 -0.98067202 -21.802368 -56.188368
    Unten rechts KachelX + 1 28800 KachelY + 1 45190 -0.38042724 -0.98067202 -21.796875 -56.188368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98061867--0.98067202) × R
    5.3349999999952e-05 × 6371000     		dl = 339.892849999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98061867--0.98067202) × R
    5.3349999999952e-05 × 6371000     		dr = 339.892849999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38052311--0.38042724) × cos(-0.98061867) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55650863638989 × 6371000     		do = 339.908669006314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38052311--0.38042724) × cos(-0.98067202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556464310186591 × 6371000     		du = 339.881595103449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98061867)-sin(-0.98067202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55650863638989-0.556464310186591)×R²
    abs(-0.38042724--0.38052311)×4.43262032988612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43262032988612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43262032988612e-05×40589641000000     		ar = 115527.925162561m²