Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28792 / 44857
↖ ↑ ↗
← S 55.156905°
W 21.840821°		 ← 349 m → S 55.156905°
W 21.835327°		 →
↑
349 m
↓
↑
349 m
↓
S 55.160043°
W 21.840821°		 ← 348.97 m →
121 797 m²		 S 55.160043°
W 21.835327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439338684082031 y=0.684471130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439338684082031 × 216)
    floor (0.439338684082031 × 65536)
    floor (28792.5)     		tx = 28792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684471130371094 × 216)
    floor (0.684471130371094 × 65536)
    floor (44857.5)     		ty = 44857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28792 / 44857 ti = "16/28792/44857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28792/44857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28792 ÷ 216
    28792 ÷ 65536     		x = 0.4393310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44857 ÷ 216
    44857 ÷ 65536     		y = 0.684463500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4393310546875 × 2 - 1) × π
    -0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684463500976562 × 2 - 1) × π
    -0.368927001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15901835901372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38119423} λ = -0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15901835901372))-π/2
    2×atan(0.313794062856452)-π/2
    2×0.304063366360192-π/2
    0.608126732720385-1.57079632675     		φ = -0.96266959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96266959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.156905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28792 KachelY 44857 -0.38119423 -0.96266959 -21.840821 -55.156905
    Oben rechts KachelX + 1 28793 KachelY 44857 -0.38109835 -0.96266959 -21.835327 -55.156905
    Unten links KachelX 28792 KachelY + 1 44858 -0.38119423 -0.96272437 -21.840821 -55.160043
    Unten rechts KachelX + 1 28793 KachelY + 1 44858 -0.38109835 -0.96272437 -21.835327 -55.160043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96266959--0.96272437) × R
    5.4780000000032e-05 × 6371000     		dl = 349.003380000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96266959--0.96272437) × R
    5.4780000000032e-05 × 6371000     		dr = 349.003380000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38119423--0.38109835) × cos(-0.96266959) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.571331039396893 × 6371000     		do = 348.998410985705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38119423--0.38109835) × cos(-0.96272437) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.571286079513928 × 6371000     		du = 348.970947174656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96266959)-sin(-0.96272437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571331039396893-0.571286079513928)×R²
    abs(-0.38109835--0.38119423)×4.49598829649345e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.49598829649345e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.49598829649345e-05×40589641000000     		ar = 121796.832597592m²