Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28791 / 44740
↖ ↑ ↗
← S 54.788017°
W 21.846314°		 ← 352.18 m → S 54.788017°
W 21.840821°		 →
↑
352.19 m
↓
↑
352.19 m
↓
S 54.791184°
W 21.846314°		 ← 352.15 m →
124 030 m²		 S 54.791184°
W 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439323425292969 y=0.682685852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439323425292969 × 216)
    floor (0.439323425292969 × 65536)
    floor (28791.5)     		tx = 28791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682685852050781 × 216)
    floor (0.682685852050781 × 65536)
    floor (44740.5)     		ty = 44740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28791 / 44740 ti = "16/28791/44740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28791/44740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28791 ÷ 216
    28791 ÷ 65536     		x = 0.439315795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44740 ÷ 216
    44740 ÷ 65536     		y = 0.68267822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439315795898438 × 2 - 1) × π
    -0.121368408203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38129010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68267822265625 × 2 - 1) × π
    -0.3653564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.14780112450262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38129010} λ = -0.38129010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14780112450262))-π/2
    2×atan(0.317333780252034)-π/2
    2×0.307282516724159-π/2
    0.614565033448318-1.57079632675     		φ = -0.95623129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38129010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.846314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95623129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.788017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28791 KachelY 44740 -0.38129010 -0.95623129 -21.846314 -54.788017
    Oben rechts KachelX + 1 28792 KachelY 44740 -0.38119423 -0.95623129 -21.840821 -54.788017
    Unten links KachelX 28791 KachelY + 1 44741 -0.38129010 -0.95628657 -21.846314 -54.791184
    Unten rechts KachelX + 1 28792 KachelY + 1 44741 -0.38119423 -0.95628657 -21.840821 -54.791184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95623129--0.95628657) × R
    5.52799999999909e-05 × 6371000     		dl = 352.188879999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95623129--0.95628657) × R
    5.52799999999909e-05 × 6371000     		dr = 352.188879999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38129010--0.38119423) × cos(-0.95623129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576603201322039 × 6371000     		do = 352.182183510341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38129010--0.38119423) × cos(-0.95628657) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.576558035336341 × 6371000     		du = 352.154596678657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95623129)-sin(-0.95628657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.576603201322039-0.576558035336341)×R²
    abs(-0.38119423--0.38129010)×4.51659856973707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51659856973707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51659856973707e-05×40589641000000     		ar = 124029.790910494m²