Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28780 / 44697
↖ ↑ ↗
← S 54.651591°
W 21.906738°		 ← 353.37 m → S 54.651591°
W 21.901245°		 →
↑
353.34 m
↓
↑
353.34 m
↓
S 54.654768°
W 21.906738°		 ← 353.34 m →
124 853 m²		 S 54.654768°
W 21.901245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28780 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439155578613281 y=0.682029724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439155578613281 × 216)
    floor (0.439155578613281 × 65536)
    floor (28780.5)     		tx = 28780
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682029724121094 × 216)
    floor (0.682029724121094 × 65536)
    floor (44697.5)     		ty = 44697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28780 / 44697 ti = "16/28780/44697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28780/44697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28780 ÷ 216
    28780 ÷ 65536     		x = 0.43914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44697 ÷ 216
    44697 ÷ 65536     		y = 0.682022094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.1217041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38234471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.682022094726562 × 2 - 1) × π
    -0.364044189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1436785511353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38234471} λ = -0.38234471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1436785511353))-π/2
    2×atan(0.318644712393345)-π/2
    2×0.308473063997544-π/2
    0.616946127995088-1.57079632675     		φ = -0.95385020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38234471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95385020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.651591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28780 KachelY 44697 -0.38234471 -0.95385020 -21.906738 -54.651591
    Oben rechts KachelX + 1 28781 KachelY 44697 -0.38224884 -0.95385020 -21.901245 -54.651591
    Unten links KachelX 28780 KachelY + 1 44698 -0.38234471 -0.95390566 -21.906738 -54.654768
    Unten rechts KachelX + 1 28781 KachelY + 1 44698 -0.38224884 -0.95390566 -21.901245 -54.654768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95385020--0.95390566) × R
    5.54600000000072e-05 × 6371000     		dl = 353.335660000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95385020--0.95390566) × R
    5.54600000000072e-05 × 6371000     		dr = 353.335660000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38234471--0.38224884) × cos(-0.95385020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578546973383645 × 6371000     		do = 353.369415713238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38234471--0.38224884) × cos(-0.95390566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578501736596692 × 6371000     		du = 353.341785637013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95385020)-sin(-0.95390566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578546973383645-0.578501736596692)×R²
    abs(-0.38224884--0.38234471)×4.52367869525627e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52367869525627e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52367869525627e-05×40589641000000     		ar = 124853.134411027m²