Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28769 / 44447
↖ ↑ ↗
← S 53.849286°
W 21.967163°		 ← 360.31 m → S 53.849286°
W 21.961670°		 →
↑
360.34 m
↓
↑
360.34 m
↓
S 53.852527°
W 21.967163°		 ← 360.28 m →
129 831 m²		 S 53.852527°
W 21.961670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438987731933594 y=0.678215026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438987731933594 × 216)
    floor (0.438987731933594 × 65536)
    floor (28769.5)     		tx = 28769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678215026855469 × 216)
    floor (0.678215026855469 × 65536)
    floor (44447.5)     		ty = 44447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28769 / 44447 ti = "16/28769/44447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28769/44447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28769 ÷ 216
    28769 ÷ 65536     		x = 0.438980102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44447 ÷ 216
    44447 ÷ 65536     		y = 0.678207397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438980102539062 × 2 - 1) × π
    -0.122039794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38339932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678207397460938 × 2 - 1) × π
    -0.356414794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11971010132527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38339932} λ = -0.38339932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11971010132527))-π/2
    2×atan(0.326374396414896)-π/2
    2×0.315474490983058-π/2
    0.630948981966117-1.57079632675     		φ = -0.93984734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38339932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.967163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93984734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.849286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28769 KachelY 44447 -0.38339932 -0.93984734 -21.967163 -53.849286
    Oben rechts KachelX + 1 28770 KachelY 44447 -0.38330345 -0.93984734 -21.961670 -53.849286
    Unten links KachelX 28769 KachelY + 1 44448 -0.38339932 -0.93990390 -21.967163 -53.852527
    Unten rechts KachelX + 1 28770 KachelY + 1 44448 -0.38330345 -0.93990390 -21.961670 -53.852527
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93984734--0.93990390) × R
    5.65599999999833e-05 × 6371000     		dl = 360.343759999894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93984734--0.93990390) × R
    5.65599999999833e-05 × 6371000     		dr = 360.343759999894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38339932--0.38330345) × cos(-0.93984734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5899112999777 × 6371000     		do = 360.310607411173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38339932--0.38330345) × cos(-0.93990390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58986562864102 × 6371000     		du = 360.282711917289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93984734)-sin(-0.93990390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5899112999777-0.58986562864102)×R²
    abs(-0.38330345--0.38339932)×4.56713366804307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56713366804307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56713366804307e-05×40589641000000     		ar = 129830.653093306m²