Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28768 / 45151
↖ ↑ ↗
← S 56.068969°
W 21.972656°		 ← 340.97 m → S 56.068969°
W 21.967163°		 →
↑
340.98 m
↓
↑
340.98 m
↓
S 56.072036°
W 21.972656°		 ← 340.95 m →
116 259 m²		 S 56.072036°
W 21.967163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438972473144531 y=0.688957214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438972473144531 × 216)
    floor (0.438972473144531 × 65536)
    floor (28768.5)     		tx = 28768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688957214355469 × 216)
    floor (0.688957214355469 × 65536)
    floor (45151.5)     		ty = 45151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28768 / 45151 ti = "16/28768/45151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28768/45151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28768 ÷ 216
    28768 ÷ 65536     		x = 0.43896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45151 ÷ 216
    45151 ÷ 65536     		y = 0.688949584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688949584960938 × 2 - 1) × π
    -0.377899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18720525599031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38349520} λ = -0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18720525599031))-π/2
    2×atan(0.305072673804038)-π/2
    2×0.296104101819845-π/2
    0.59220820363969-1.57079632675     		φ = -0.97858812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97858812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.068969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28768 KachelY 45151 -0.38349520 -0.97858812 -21.972656 -56.068969
    Oben rechts KachelX + 1 28769 KachelY 45151 -0.38339932 -0.97858812 -21.967163 -56.068969
    Unten links KachelX 28768 KachelY + 1 45152 -0.38349520 -0.97864164 -21.972656 -56.072036
    Unten rechts KachelX + 1 28769 KachelY + 1 45152 -0.38339932 -0.97864164 -21.967163 -56.072036
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97858812--0.97864164) × R
    5.35200000000291e-05 × 6371000     		dl = 340.975920000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97858812--0.97864164) × R
    5.35200000000291e-05 × 6371000     		dr = 340.975920000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38349520--0.38339932) × cos(-0.97858812) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.558194553818392 × 6371000     		do = 340.973969327878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38349520--0.38339932) × cos(-0.97864164) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.558150146934739 × 6371000     		du = 340.946843317276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97858812)-sin(-0.97864164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558194553818392-0.558150146934739)×R²
    abs(-0.38339932--0.38349520)×4.44068836533695e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.44068836533695e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.44068836533695e-05×40589641000000     		ar = 116259.288256998m²