Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28754 / 44430
↖ ↑ ↗
← S 53.794162°
W 22.049561°		 ← 360.78 m → S 53.794162°
W 22.044068°		 →
↑
360.79 m
↓
↑
360.79 m
↓
S 53.797406°
W 22.049561°		 ← 360.76 m →
130 162 m²		 S 53.797406°
W 22.044068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438758850097656 y=0.677955627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438758850097656 × 216)
    floor (0.438758850097656 × 65536)
    floor (28754.5)     		tx = 28754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677955627441406 × 216)
    floor (0.677955627441406 × 65536)
    floor (44430.5)     		ty = 44430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28754 / 44430 ti = "16/28754/44430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28754/44430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28754 ÷ 216
    28754 ÷ 65536     		x = 0.438751220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44430 ÷ 216
    44430 ÷ 65536     		y = 0.677947998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438751220703125 × 2 - 1) × π
    -0.12249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38483743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677947998046875 × 2 - 1) × π
    -0.35589599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11808024673819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38483743} λ = -0.38483743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11808024673819))-π/2
    2×atan(0.326906772952318)-π/2
    2×0.315955542200483-π/2
    0.631911084400966-1.57079632675     		φ = -0.93888524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38483743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.049561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93888524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.794162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28754 KachelY 44430 -0.38483743 -0.93888524 -22.049561 -53.794162
    Oben rechts KachelX + 1 28755 KachelY 44430 -0.38474156 -0.93888524 -22.044068 -53.794162
    Unten links KachelX 28754 KachelY + 1 44431 -0.38483743 -0.93894187 -22.049561 -53.797406
    Unten rechts KachelX + 1 28755 KachelY + 1 44431 -0.38474156 -0.93894187 -22.044068 -53.797406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93888524--0.93894187) × R
    5.6630000000002e-05 × 6371000     		dl = 360.789730000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93888524--0.93894187) × R
    5.6630000000002e-05 × 6371000     		dr = 360.789730000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38483743--0.38474156) × cos(-0.93888524) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.590687891850894 × 6371000     		do = 360.784940229601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38483743--0.38474156) × cos(-0.93894187) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.590642196149589 × 6371000     		du = 360.757029854102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93888524)-sin(-0.93894187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.590687891850894-0.590642196149589)×R²
    abs(-0.38474156--0.38483743)×4.56957013041936e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56957013041936e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56957013041936e-05×40589641000000     		ar = 130162.466319842m²