Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28740 / 44444
↖ ↑ ↗
← S 53.839563°
W 22.126465°		 ← 360.39 m → S 53.839563°
W 22.120972°		 →
↑
360.41 m
↓
↑
360.41 m
↓
S 53.842805°
W 22.126465°		 ← 360.37 m →
129 884 m²		 S 53.842805°
W 22.120972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438545227050781 y=0.678169250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438545227050781 × 216)
    floor (0.438545227050781 × 65536)
    floor (28740.5)     		tx = 28740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678169250488281 × 216)
    floor (0.678169250488281 × 65536)
    floor (44444.5)     		ty = 44444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28740 / 44444 ti = "16/28740/44444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28740/44444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28740 ÷ 216
    28740 ÷ 65536     		x = 0.43853759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44444 ÷ 216
    44444 ÷ 65536     		y = 0.67816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43853759765625 × 2 - 1) × π
    -0.1229248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38617966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.3563232421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.11942247992755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38617966} λ = -0.38617966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11942247992755))-π/2
    2×atan(0.326468282176103)-π/2
    2×0.315559336390489-π/2
    0.631118672780978-1.57079632675     		φ = -0.93967765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38617966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.126465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93967765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.839563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28740 KachelY 44444 -0.38617966 -0.93967765 -22.126465 -53.839563
    Oben rechts KachelX + 1 28741 KachelY 44444 -0.38608379 -0.93967765 -22.120972 -53.839563
    Unten links KachelX 28740 KachelY + 1 44445 -0.38617966 -0.93973422 -22.126465 -53.842805
    Unten rechts KachelX + 1 28741 KachelY + 1 44445 -0.38608379 -0.93973422 -22.120972 -53.842805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93967765--0.93973422) × R
    5.65699999999225e-05 × 6371000     		dl = 360.407469999506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93967765--0.93973422) × R
    5.65699999999225e-05 × 6371000     		dr = 360.407469999506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38617966--0.38608379) × cos(-0.93967765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.59004831073796 × 6371000     		do = 360.394291907898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38617966--0.38608379) × cos(-0.93973422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.590002636989477 × 6371000     		du = 360.366394940914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93967765)-sin(-0.93973422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59004831073796-0.590002636989477)×R²
    abs(-0.38608379--0.38617966)×4.56737484832992e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.56737484832992e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.56737484832992e-05×40589641000000     		ar = 129883.767845979m²