Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28726 / 44226
↖ ↑ ↗
← S 53.126998°
W 22.203369°		 ← 366.54 m → S 53.126998°
W 22.197876°		 →
↑
366.46 m
↓
↑
366.46 m
↓
S 53.130294°
W 22.203369°		 ← 366.51 m →
134 316 m²		 S 53.130294°
W 22.197876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438331604003906 y=0.674842834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438331604003906 × 216)
    floor (0.438331604003906 × 65536)
    floor (28726.5)     		tx = 28726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674842834472656 × 216)
    floor (0.674842834472656 × 65536)
    floor (44226.5)     		ty = 44226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28726 / 44226 ti = "16/28726/44226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28726/44226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28726 ÷ 216
    28726 ÷ 65536     		x = 0.438323974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44226 ÷ 216
    44226 ÷ 65536     		y = 0.674835205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438323974609375 × 2 - 1) × π
    -0.12335205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38752190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.34967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09852199169321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38752190} λ = -0.38752190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09852199169321))-π/2
    2×atan(0.333363433683933)-π/2
    2×0.321777644467549-π/2
    0.643555288935097-1.57079632675     		φ = -0.92724104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38752190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.203369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92724104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.126998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28726 KachelY 44226 -0.38752190 -0.92724104 -22.203369 -53.126998
    Oben rechts KachelX + 1 28727 KachelY 44226 -0.38742602 -0.92724104 -22.197876 -53.126998
    Unten links KachelX 28726 KachelY + 1 44227 -0.38752190 -0.92729856 -22.203369 -53.130294
    Unten rechts KachelX + 1 28727 KachelY + 1 44227 -0.38742602 -0.92729856 -22.197876 -53.130294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92724104--0.92729856) × R
    5.75200000000331e-05 × 6371000     		dl = 366.459920000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92724104--0.92729856) × R
    5.75200000000331e-05 × 6371000     		dr = 366.459920000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38752190--0.38742602) × cos(-0.92724104) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.600043341520692 × 6371000     		do = 366.537363232032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38752190--0.38742602) × cos(-0.92729856) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.599997326397939 × 6371000     		du = 366.509254826196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92724104)-sin(-0.92729856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600043341520692-0.599997326397939)×R²
    abs(-0.38742602--0.38752190)×4.60151227527072e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.60151227527072e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.60151227527072e-05×40589641000000     		ar = 134316.102542104m²