Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28716 / 45212
↖ ↑ ↗
← S 56.255557°
W 22.258301°		 ← 339.29 m → S 56.255557°
W 22.252808°		 →
↑
339.26 m
↓
↑
339.26 m
↓
S 56.258608°
W 22.258301°		 ← 339.26 m →
115 100 m²		 S 56.258608°
W 22.252808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28716 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438179016113281 y=0.689888000488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438179016113281 × 216)
    floor (0.438179016113281 × 65536)
    floor (28716.5)     		tx = 28716
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689888000488281 × 216)
    floor (0.689888000488281 × 65536)
    floor (45212.5)     		ty = 45212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28716 / 45212 ti = "16/28716/45212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28716/45212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28716 ÷ 216
    28716 ÷ 65536     		x = 0.43817138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45212 ÷ 216
    45212 ÷ 65536     		y = 0.68988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43817138671875 × 2 - 1) × π
    -0.1236572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38848063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68988037109375 × 2 - 1) × π
    -0.3797607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19305355774396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38848063} λ = -0.38848063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19305355774396))-π/2
    2×atan(0.303293723739626)-π/2
    2×0.294475813366409-π/2
    0.588951626732818-1.57079632675     		φ = -0.98184470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38848063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.258301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98184470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.255557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28716 KachelY 45212 -0.38848063 -0.98184470 -22.258301 -56.255557
    Oben rechts KachelX + 1 28717 KachelY 45212 -0.38838476 -0.98184470 -22.252808 -56.255557
    Unten links KachelX 28716 KachelY + 1 45213 -0.38848063 -0.98189795 -22.258301 -56.258608
    Unten rechts KachelX + 1 28717 KachelY + 1 45213 -0.38838476 -0.98189795 -22.252808 -56.258608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98184470--0.98189795) × R
    5.32500000000047e-05 × 6371000     		dl = 339.25575000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98184470--0.98189795) × R
    5.32500000000047e-05 × 6371000     		dr = 339.25575000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38848063--0.38838476) × cos(-0.98184470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555489581384978 × 6371000     		do = 339.286242672357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38848063--0.38838476) × cos(-0.98189795) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555445301971256 × 6371000     		du = 339.259197347992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98184470)-sin(-0.98189795))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555489581384978-0.555445301971256)×R²
    abs(-0.38838476--0.38848063)×4.42794137222036e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42794137222036e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42794137222036e-05×40589641000000     		ar = 115100.221108538m²