Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28694 / 44287
↖ ↑ ↗
← S 53.327592°
W 22.379150°		 ← 364.82 m → S 53.327592°
W 22.373657°		 →
↑
364.80 m
↓
↑
364.80 m
↓
S 53.330873°
W 22.379150°		 ← 364.80 m →
133 084 m²		 S 53.330873°
W 22.373657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437843322753906 y=0.675773620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437843322753906 × 216)
    floor (0.437843322753906 × 65536)
    floor (28694.5)     		tx = 28694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675773620605469 × 216)
    floor (0.675773620605469 × 65536)
    floor (44287.5)     		ty = 44287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28694 / 44287 ti = "16/28694/44287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28694/44287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28694 ÷ 216
    28694 ÷ 65536     		x = 0.437835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44287 ÷ 216
    44287 ÷ 65536     		y = 0.675765991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437835693359375 × 2 - 1) × π
    -0.12432861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39058986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675765991210938 × 2 - 1) × π
    -0.351531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10437029344685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39058986} λ = -0.39058986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10437029344685))-π/2
    2×atan(0.331419513586371)-π/2
    2×0.320027128831938-π/2
    0.640054257663877-1.57079632675     		φ = -0.93074207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39058986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.379150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93074207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.327592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28694 KachelY 44287 -0.39058986 -0.93074207 -22.379150 -53.327592
    Oben rechts KachelX + 1 28695 KachelY 44287 -0.39049398 -0.93074207 -22.373657 -53.327592
    Unten links KachelX 28694 KachelY + 1 44288 -0.39058986 -0.93079933 -22.379150 -53.330873
    Unten rechts KachelX + 1 28695 KachelY + 1 44288 -0.39049398 -0.93079933 -22.373657 -53.330873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93074207--0.93079933) × R
    5.72600000000589e-05 × 6371000     		dl = 364.803460000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93074207--0.93079933) × R
    5.72600000000589e-05 × 6371000     		dr = 364.803460000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39058986--0.39049398) × cos(-0.93074207) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.597238959628382 × 6371000     		do = 364.824302402629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39058986--0.39049398) × cos(-0.93079933) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.597193032501625 × 6371000     		du = 364.796247749278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93074207)-sin(-0.93079933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597238959628382-0.597193032501625)×R²
    abs(-0.39049398--0.39058986)×4.59271267563288e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.59271267563288e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.59271267563288e-05×40589641000000     		ar = 133084.050628006m²