Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28686 / 45170
↖ ↑ ↗
← S 56.127184°
W 22.423096°		 ← 340.46 m → S 56.127184°
W 22.417602°		 →
↑
340.47 m
↓
↑
340.47 m
↓
S 56.130246°
W 22.423096°		 ← 340.43 m →
115 910 m²		 S 56.130246°
W 22.417602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437721252441406 y=0.689247131347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437721252441406 × 216)
    floor (0.437721252441406 × 65536)
    floor (28686.5)     		tx = 28686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689247131347656 × 216)
    floor (0.689247131347656 × 65536)
    floor (45170.5)     		ty = 45170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28686 / 45170 ti = "16/28686/45170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28686/45170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28686 ÷ 216
    28686 ÷ 65536     		x = 0.437713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45170 ÷ 216
    45170 ÷ 65536     		y = 0.689239501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.12457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39135685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689239501953125 × 2 - 1) × π
    -0.37847900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18902685817587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39135685} λ = -0.39135685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18902685817587))-π/2
    2×atan(0.304517458598825)-π/2
    2×0.295596081708078-π/2
    0.591192163416156-1.57079632675     		φ = -0.97960416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39135685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.423096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97960416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.127184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28686 KachelY 45170 -0.39135685 -0.97960416 -22.423096 -56.127184
    Oben rechts KachelX + 1 28687 KachelY 45170 -0.39126097 -0.97960416 -22.417602 -56.127184
    Unten links KachelX 28686 KachelY + 1 45171 -0.39135685 -0.97965760 -22.423096 -56.130246
    Unten rechts KachelX + 1 28687 KachelY + 1 45171 -0.39126097 -0.97965760 -22.417602 -56.130246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97960416--0.97965760) × R
    5.34400000000712e-05 × 6371000     		dl = 340.466240000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97960416--0.97965760) × R
    5.34400000000712e-05 × 6371000     		dr = 340.466240000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39135685--0.39126097) × cos(-0.97960416) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55735124719703 × 6371000     		do = 340.458834230126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39135685--0.39126097) × cos(-0.97965760) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55730687640828 × 6371000     		du = 340.431730268149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97960416)-sin(-0.97965760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55735124719703-0.55730687640828)×R²
    abs(-0.39126097--0.39135685)×4.43707887504141e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43707887504141e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43707887504141e-05×40589641000000     		ar = 115910.125200534m²