Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28686 / 44082
↖ ↑ ↗
← S 52.649729°
W 22.423096°		 ← 370.60 m → S 52.649729°
W 22.417602°		 →
↑
370.60 m
↓
↑
370.60 m
↓
S 52.653062°
W 22.423096°		 ← 370.57 m →
137 338 m²		 S 52.653062°
W 22.417602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437721252441406 y=0.672645568847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437721252441406 × 216)
    floor (0.437721252441406 × 65536)
    floor (28686.5)     		tx = 28686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672645568847656 × 216)
    floor (0.672645568847656 × 65536)
    floor (44082.5)     		ty = 44082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28686 / 44082 ti = "16/28686/44082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28686/44082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28686 ÷ 216
    28686 ÷ 65536     		x = 0.437713623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44082 ÷ 216
    44082 ÷ 65536     		y = 0.672637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437713623046875 × 2 - 1) × π
    -0.12457275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39135685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.34527587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08471616460263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39135685} λ = -0.39135685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08471616460263))-π/2
    2×atan(0.337997707994784)-π/2
    2×0.325942601018633-π/2
    0.651885202037265-1.57079632675     		φ = -0.91891112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39135685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.423096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91891112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.649729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28686 KachelY 44082 -0.39135685 -0.91891112 -22.423096 -52.649729
    Oben rechts KachelX + 1 28687 KachelY 44082 -0.39126097 -0.91891112 -22.417602 -52.649729
    Unten links KachelX 28686 KachelY + 1 44083 -0.39135685 -0.91896929 -22.423096 -52.653062
    Unten rechts KachelX + 1 28687 KachelY + 1 44083 -0.39126097 -0.91896929 -22.417602 -52.653062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91891112--0.91896929) × R
    5.81700000000795e-05 × 6371000     		dl = 370.601070000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91891112--0.91896929) × R
    5.81700000000795e-05 × 6371000     		dr = 370.601070000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39135685--0.39126097) × cos(-0.91891112) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606686112016072 × 6371000     		do = 370.595109420435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39135685--0.39126097) × cos(-0.91896929) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.606639869243592 × 6371000     		du = 370.566861954426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91891112)-sin(-0.91896929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606686112016072-0.606639869243592)×R²
    abs(-0.39126097--0.39135685)×4.62427724802206e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.62427724802206e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.62427724802206e-05×40589641000000     		ar = 137337.709856328m²