Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28683 / 44080
↖ ↑ ↗
← S 52.643064°
W 22.439575°		 ← 370.61 m → S 52.643064°
W 22.434082°		 →
↑
370.60 m
↓
↑
370.60 m
↓
S 52.646397°
W 22.439575°		 ← 370.58 m →
137 344 m²		 S 52.646397°
W 22.434082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437675476074219 y=0.672615051269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437675476074219 × 216)
    floor (0.437675476074219 × 65536)
    floor (28683.5)     		tx = 28683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672615051269531 × 216)
    floor (0.672615051269531 × 65536)
    floor (44080.5)     		ty = 44080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28683 / 44080 ti = "16/28683/44080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28683/44080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28683 ÷ 216
    28683 ÷ 65536     		x = 0.437667846679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44080 ÷ 216
    44080 ÷ 65536     		y = 0.672607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437667846679688 × 2 - 1) × π
    -0.124664306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39164447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672607421875 × 2 - 1) × π
    -0.34521484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08452441700415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39164447} λ = -0.39164447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08452441700415))-π/2
    2×atan(0.338062524457586)-π/2
    2×0.326000770753883-π/2
    0.652001541507766-1.57079632675     		φ = -0.91879479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39164447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.439575°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91879479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.643064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28683 KachelY 44080 -0.39164447 -0.91879479 -22.439575 -52.643064
    Oben rechts KachelX + 1 28684 KachelY 44080 -0.39154860 -0.91879479 -22.434082 -52.643064
    Unten links KachelX 28683 KachelY + 1 44081 -0.39164447 -0.91885296 -22.439575 -52.646397
    Unten rechts KachelX + 1 28684 KachelY + 1 44081 -0.39154860 -0.91885296 -22.434082 -52.646397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91879479--0.91885296) × R
    5.81700000000795e-05 × 6371000     		dl = 370.601070000507m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91879479--0.91885296) × R
    5.81700000000795e-05 × 6371000     		dr = 370.601070000507m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39164447--0.39154860) × cos(-0.91879479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606778583453547 × 6371000     		do = 370.612937871343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39164447--0.39154860) × cos(-0.91885296) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606732344786617 × 6371000     		du = 370.584695859081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91879479)-sin(-0.91885296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606778583453547-0.606732344786617)×R²
    abs(-0.39154860--0.39164447)×4.62386669297654e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62386669297654e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62386669297654e-05×40589641000000     		ar = 137344.318109691m²