Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28674 / 44222
↖ ↑ ↗
← S 53.113812°
W 22.489013°		 ← 366.61 m → S 53.113812°
W 22.483520°		 →
↑
366.59 m
↓
↑
366.59 m
↓
S 53.117108°
W 22.489013°		 ← 366.58 m →
134 390 m²		 S 53.117108°
W 22.483520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437538146972656 y=0.674781799316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437538146972656 × 216)
    floor (0.437538146972656 × 65536)
    floor (28674.5)     		tx = 28674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674781799316406 × 216)
    floor (0.674781799316406 × 65536)
    floor (44222.5)     		ty = 44222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28674 / 44222 ti = "16/28674/44222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28674/44222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28674 ÷ 216
    28674 ÷ 65536     		x = 0.437530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44222 ÷ 216
    44222 ÷ 65536     		y = 0.674774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437530517578125 × 2 - 1) × π
    -0.12493896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39250733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.34954833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09813849649625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39250733} λ = -0.39250733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09813849649625))-π/2
    2×atan(0.333491301476368)-π/2
    2×0.321892718987172-π/2
    0.643785437974345-1.57079632675     		φ = -0.92701089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39250733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.489013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92701089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.113812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28674 KachelY 44222 -0.39250733 -0.92701089 -22.489013 -53.113812
    Oben rechts KachelX + 1 28675 KachelY 44222 -0.39241146 -0.92701089 -22.483520 -53.113812
    Unten links KachelX 28674 KachelY + 1 44223 -0.39250733 -0.92706843 -22.489013 -53.117108
    Unten rechts KachelX + 1 28675 KachelY + 1 44223 -0.39241146 -0.92706843 -22.483520 -53.117108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92701089--0.92706843) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dl = 366.587340000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92701089--0.92706843) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dr = 366.587340000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39250733--0.39241146) × cos(-0.92701089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600227438145501 × 6371000     		do = 366.611578437696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39250733--0.39241146) × cos(-0.92706843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600181414969895 × 6371000     		du = 366.583468044899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92701089)-sin(-0.92706843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600227438145501-0.600181414969895)×R²
    abs(-0.39241146--0.39250733)×4.60231756060914e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60231756060914e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60231756060914e-05×40589641000000     		ar = 134390.010932963m²