Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28669 / 44224
↖ ↑ ↗
← S 53.120405°
W 22.516479°		 ← 366.56 m → S 53.120405°
W 22.510986°		 →
↑
366.59 m
↓
↑
366.59 m
↓
S 53.123702°
W 22.516479°		 ← 366.53 m →
134 369 m²		 S 53.123702°
W 22.510986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437461853027344 y=0.674812316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437461853027344 × 216)
    floor (0.437461853027344 × 65536)
    floor (28669.5)     		tx = 28669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674812316894531 × 216)
    floor (0.674812316894531 × 65536)
    floor (44224.5)     		ty = 44224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28669 / 44224 ti = "16/28669/44224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28669/44224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28669 ÷ 216
    28669 ÷ 65536     		x = 0.437454223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44224 ÷ 216
    44224 ÷ 65536     		y = 0.6748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437454223632812 × 2 - 1) × π
    -0.125091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39298670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6748046875 × 2 - 1) × π
    -0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39298670} λ = -0.39298670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09833024409473))-π/2
    2×atan(0.333427361450564)-π/2
    2×0.321835177314868-π/2
    0.643670354629736-1.57079632675     		φ = -0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39298670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.516479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28669 KachelY 44224 -0.39298670 -0.92712597 -22.516479 -53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 28670 KachelY 44224 -0.39289083 -0.92712597 -22.510986 -53.120405
    Unten links KachelX 28669 KachelY + 1 44225 -0.39298670 -0.92718351 -22.516479 -53.123702
    Unten rechts KachelX + 1 28670 KachelY + 1 44225 -0.39289083 -0.92718351 -22.510986 -53.123702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92712597--0.92718351) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dl = 366.587340000144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92712597--0.92718351) × R
    5.75400000000226e-05 × 6371000     		dr = 366.587340000144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39298670--0.39289083) × cos(-0.92712597) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 366.555356438399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39298670--0.39289083) × cos(-0.92718351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600089362657501 × 6371000     		du = 366.527243618288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92712597)-sin(-0.92718351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.600089362657501)×R²
    abs(-0.39289083--0.39298670)×4.60271496769415e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60271496769415e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60271496769415e-05×40589641000000     		ar = 134369.400214832m²